Моменты случайной величины, их связь со статистическими характеристиками

Лекция №8.

Вычисление статистических характеристик можно производить непосредственно по формулам (2.1)-(2.8), но на практике характеристики обычно находят с помощью моментов.

Моментом случайной величины k -го порядка относительно постоянного параметра а называется выражение

(2.11)

Порядок k может быть выражен любым целым числом, но интерес представляют первые четыре момента (порядка).

В зависимости от выбора параметра а различают начальные и центральные моменты. В первом случае а выбирается произвольно, что имеет смысл для ускорения вычислений. Часто полагают а = 0, и формула начальных моментов приобретает вид

(2.12)

Во втором случае принимают и получают центральные моменты

(2.13)

От начальных моментов можно перейти к центральным:

(2.14)

Зная моменты случайной величины, можно найти ее статистические характеристики по формулам

(2.15)

Пример 4. В 11 пробах руды определено содержание никеля (табл.2.1). Требуется рассчитать статистические характеристики.

Расчет статистических характеристик может быть выполнен двумя методами – через начальные (табл.2.2) или центральные (табл.2.3) моменты.

Последняя строка табл.2.2 содержит начальные моменты m ₁ = 0,29; m ₂ = = 0,1015; m ₃ = 0,039584; m ₄ = 0,0166409.

По формулам (2.14) найдем центральные моменты:

m₂ = 0,1015 – 0,29² = 0,0174;

m₃ = 0,039584 – 3×0,10152×0,29 + 2×0,29³ = 0,000139;

m₄ = 0,0166409 – 4×0,039584×0,29 +

+ 6×0,1015×0,29² – 3×0,29⁴ = 0,000617.

Таблица 2.2