Элементы векторного анализа
1. Скалярные и векторные поля.
Опр.:
1) - скалярное поле
2) - векторное поле
3) - поле форм
2. Связь между векторными полями и формами в
Утв.:
Если: - ориентированное евклидово пространство, - векторные поля,
То: полю соответствует линейная (билинейная) форма.
Док-во:
Утв.:
Задание в области ориентированного евклидова пространства дифференциальной формы эквивалентно заданию в этой области векторных полей и .
Док-во:
Замечание: в случае скалярного поля:
3. Дифференциальные операторы градиент, ротор и дифергенция.
Опр.:
Внешнему дифференцированию 0,1,2 – форм в ориентированном евклидовом пространстве отвечают операции нахождения градиента скалярного поля и нахождения ротора и дивергенции векторных полей, определённых соотношениями:
Запись в декартовых координатах
1.
2.
3.