Собственно-корреляционные параметрические методы изучения связи

Линейный коэффициент корреляции характеризует тесноту и направление связи между двумя коррелируемыми признаками в случае наличия между ними линейной зависимости.

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формулы расчета данного коэффициента:

__ _ _

xy - x * y

r = ¾¾¾¾¾.

s_x * s_y (11.4.1)

Производя расчет по итоговым значениям исходных переменных, линейный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

n å xy - åx åy

r = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾.

_________________________________

Ö [ n å x² - (åx)² ] * [ n åy² - (å y)²](11.4.2)

Между линейным коэффициентом корреляции и коэффициентом регрессии существует определенная зависимость, выражаемая формулой

s_xi

r = a_i ¾¾.

s_y (11.4.3)

Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от -1 до 1: -1£ r £ 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции совпадают. При r = 0 связь отсутствует, при 0< r <1 связь прямая (с увеличением x увеличивается y), при -1< r <0 связь обратная (при увеличении x уменьшается y), при r = 1 связь функциональная (каждому значению x соответствует только одно значение y).

Пример. На основе выборочных данных оцените тесноту связи между прибылью y (млн руб.) и затратами на 1 руб. продукции x (коп.).

№ п/п	y	x	yx	y2	x2
Сумма	4466	502	362404	3792338	42280
Средняя	744,33	83,67	60400,67	632056,33	7046,67

Используя формулу 11.4.1:

__ _

s_y² = y² - (y)² = 632056,3 - (744,3)² = 78029,3;

__ _

s_x² = x² - (x)² = 7046,67 - (83,673)² = 46;

60400,67 - 744,33 * 83,67

r = ----------------------------------- = - 0,98.

_____________

Ö 78029,3 * 46

Используя формулу 11.4.2:

6 * 362404 - 4466 * 502

r = --------------------------------------------------------------- = - 0,98.

_________________________________________

Ö [ 6 * 42280 - (502)² ] * [ 6 * 3792338 - (4466)² ]

Таким образом, результат по всем формулам одинаков и свидетельствует о сильной обратной зависимости между изучаемыми признаками.

В случае наличия линейной и нелинейной зависимости между двумя признаками для измерения тесноты связи применяют так называемое корреляционное отношение. Различают эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле:

__ ____

½ d ²

h = ½ ¾¾.

Ö s ²(11.4.4)

Все эти дисперсии есть дисперсии результативного признака.

Теоретическое корреляционное отношение определяется по формуле:

______ ________ ____

½ d ² ½ 1 -s²_ост

h = ½ ¾¾ = ½ ¾¾¾¾¾,

Ö s ² Ö s ² (11.4.5)

где d ² - дисперсия выравненных значений результативного признака, то есть

рассчитанных по уравнению регрессии;

s ² - дисперсия эмпирических (фактических) значений результативного

признака.

Корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1 (0 £ h £ 1), и анализ степени связи соответствует линейному коэффициенту корреляции.

Множественный коэффициент корреляции вычисляется при наличии линейной связи между результативным и несколькими факторными признаками, а также между каждой парой факторных признаков.

Множественный коэффициент корреляции для двух факторных признаков вычисляется по формуле:

___________________________________

½ r²yx₁ + r²yx₂ - 2 r²yx₁ * r²yx₂ * r²x₁x₂

Ry/x₁x₂ = Ö ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾.

1 - r²x₁x₂

(11.4.6)

Частные коэффициенты корреляции характеризуют степень тесноты связи между двумя признаками x₁ и x₂ при фиксированном значении других (k - 2) факторных признаков, то есть когда влияние этих других факторов исключается.

В случае зависимости y от двух факторных признаков x₁ и x₂ коэффициенты частной корреляции имеют вид:

ryx₁ - rx₁x₂*ryx₂

ryx₁ /x₂ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾;

____________________

Ö (1 - r²x₂y)* (1 - r²x₁ x₂)

(11.4.7)

ryx₂ - rx₁y*r x₁x₂

ryx₂ /x₁ = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾.

____________________

Ö (1 - r²x₁y)* (1 - r²x₁ x₂)

(11.4.8)

В первом случае исключено влияние факторного признака x₂, а во втором – x₁.