Дифракция Фраунгофера, угловой спектр, линзы как элементы, выполняющие преобразование Фурье

Рассмотрим теперь дифракцию Фраунгофера при падении плоской волны на отверстие в плоском экране. В отличие от длинной щели здесь волны дифрагируют во всех направлениях. Каждой точке наблюдения Р соответствует определенное направление дифрагировавших волн, характеризуемое единичным вектором s (рис. 4.1). В качестве вспомогательной поверхности 5 выберем плоскость экрана ху. Разность хода идущих по направлению s вторичных волн из элемента dS этой поверхности и из начала координат О равна проекции вектора r, определяющего положение dS в плоскости ху, на направление s, т.е. скалярному произведению (rs). В соответствии с принципом Гюйгенса—Френеля напряженность поля в точке Р пропорциональна интегралу по всей площади отверстия в экране:

E_p~E(r)e^-ik(rs)dS=E(r)e^-ikrdS

Рис.4.1. расчетдифракции Фраунгофера от отверстия

где k = k s — волновой вектор света, дифрагировавшего в направлении s. Опущенный в (6.24) коэффициент наклона К(a) можно считать постоянным, когда размеры отверстия много больше длины волны. Тогда заметную интенсивность имеют лишь волны, дифрагировавшие на малые углы a.. Напряженность Е(r) в плоскости ху считается равной напряженности поля падающей волны в пределах отверстия экрана и равной нулю за его пределами. Понимая функцию Е(х, у) именно так, можно распространить интегрирование в (6.24) на всю плоскость ху:

E_p~E(x,y)e^{-i(k xx+k yy)}dxdy=E(k_x, k_y)

Отсюда видно, что поле в фраунгоферовой дифракционной картине, т. е. на очень большом расстоянии от препятствия или в фокальной плоскости объектива, представляет собой (с точностью до постоянного множителя) двухмерное преобразование Фурье функции Е(х,у), описывающей световое поле в плоскости ху, где расположен экран с отверстием. Функция E(k_x,k_y), т.е. фурье-образ искаженного препятствием волнового поля Е(х,у) в плоскости х у, пропорциональна комплексной амплитуде плоской волны, дифрагировавшей в определенном направлении k_x,k_y. Иначе говоря, полное волновое поле на больших расстояниях позади препятствия можно представить в виде суперпозиции плоских волн, распространяющихся в направлениях, задаваемых поперечными компонентами k_x, k_y волнового вектора k. Поэтому величины k_x, k_y называют иногда также пространственными частотами функции Е(х,у), а функцию E(k_x, k_y), определяющую распределение амплитуд отдельных плоских волн в такой суперпозиции, — угловым спектром дифрагировавшего волнового поля. Таким образом, часто вместо того, чтобы представлять угловые спектры в виде функций пространственных частот ω_x, ω_y, берут спектры в виде функций волновых векторов k_x, k_y, но оставляют за ними то же название. Они связаны соотношением: ω_X=k·λ·f_X, где f_X = ω_X/2Π. Пространственное разделение волн, дифрагировавших в разных направлениях, позволяет наблюдать на опыте отдельные фурье-компоненты функции Е(х, у). Поэтому можно считать, что в дифракции Фраунгофера физически осуществляется разложение функции Е(х,у) в двухмерный интеграл Фурье. В области дифракции Френеля напряженность поля можно также найти путем фурье-преобразования, но вид выражения будет более сложным (учитывается фазовый множитель).

Способность собирающей линзы выполнять двумерное преобразование Фурье – одно из наиболее замечательных и полезных ее свойств. С операцией преобразования Фурье обычно ассоциируются громоздкие, сложные и дорогостоящие электронные спектральные анализаторы, однако эту трудную аналоговую операцию может с предельной простотой выполнять когерентная оптическая система.

Можно показать, что после линзы выходной сигнал в фокальной плоскости с точностью до квадратичного фазового множителя имеет вид фурье-образа предмета ограниченного апертурой линзы.

5.ОПТИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЧАСТОТ

Рассмотрим оптический метод, широко применяемый в автоматике для получения результатов сложных математических операций и для распознавания образов, что существенно в науке, технике и медицине.

В основе теории этого метода лежат преобразования Фурье, частным случаем которых является представление функций в виде рядов и интегралов Фурье. Напомним, что интегральное представление функции F(t) выражается в виде:

F(t)= f(w)e^iwtdw, (5.1)

где

f(w)= F(t) e^-iwtdt, (5.2)

Функция f(w) называется Фурье-образом или Фурье-преобразованием функции F (t). Еe смысл состоит в том, что произведение f(w) выражает зависимость амплитуды в спектральном представлении функции F (t) от частоты в условиях непрерывного спектра частот.

Рассмотрим функцию двух переменных F (x,у). Эта функция может быть представлена на фотопластинке, экспонированной таким образом, что после проявления прозрачность в окрестности каждой точки пропорциональна значению функции в этой точке. В целях упрощения и большей ясности в последующем изложении положение точек на этой пластинке будет обозначаться буквой М_О и функция будет записываться как F (M_О). Допустим, что в некоторых местах пластинки имеются периодически повторяющиеся элементы изображения, например, прямолинейные отрезки (рис.5.1). Число таких элементов, приходящихся на единицу длины направления, вдоль которого происходит их повторение, называется пространственной частотой этих элементов. На рис. представлены две таких частоты: W₁= N₁/l₁ и W₂= N₂/l₂, где N₁и N₂ — число элементов в периодических сериях.

На рис. 5.2 приведена схема двойной дифракции, посредством которой осуществляется метод оптической фильтрации. На рисунке показано взаимное расположение когерентного источника S, двух линз L₁и L₂, и трех плоскостей П_О, П_С,, П_И, выполняющих главную роль в работе схемы. Сами же дифрагирующие лучи на рисунке не изображены. Положение точек в плоскости П_О будем обозначать буквойМ_{О ,} в плоскости П_С буквой W.

Рис.5.2

В плоскости П_О устанавливается фотопластинка с представленной на ней функцией F (М₀). Она освещается сходящимся световым пучком, прошедшим через линзу L₁. При прохождении через пластинку пучок рассеивается за счет дифракции на неоднородностях прозрачности пластинки, выражающих запись на ней функции F (M_О). Математический анализ этой дифракции приводит к выводу, что дифрагированный пучок создает в плоскости П_С,, проходящей через изображение источника S линзой L₁, распределение амплитуд, описываемое функцией f(W), пропорциональной интегралу:

f(W)» F (M₀)е^-iWМоdМ_о (5.3)

Сопоставив это с соотношением (2), видим, что f(W) представляет собой Фурье-образ функции F (M₀). Следовательно, каждой точке W в плоскости Пс соответствует некоторое значение пространственной частоты и потому распределение амплитуд дифрагированного света в этой плоскости выражает спектральное представление функции F (М_О) в условиях непрерывного спектра частот. Поэтому плоскость Пс называется спектральной плоскостью, а плоскость По — плоскостью объекта.

В спектральной плоскости располагается фотопластинка, обработанная так, что на ней представлена некоторая функция Н(W). Эта пластинка называется фильтром. Очевидно, что существует функция J(М₀), по отношению к которой H (W) является ее Фурье-образом. То есть, если в плоскости объекта П_О поместить фотопластинку, на которой представлена функция J (М), то дифрагированный свет создаст в плоскости П_с распределение амплитуд, сооттветсвующее функции фильтра H(W). В методе оптической фильтрации особую роль выполняют фильтры, для которых функция H(W) представляет распределение амплитуд в изображении точечного источника света, расположенного в центре плоскости П_О. Такая функция называется импульсной реакцией системы.

Таким образом, в спектральной плоскости Пс имеет место взаимное наложение спектрального распределения функции F(М₀), выраженного Фурье-образом f(W) и функции фильтра H(W). В результате возникает объединенная спектральная функция j(W), выражаемая как

j(W)=f(W) H(W) (5.4)

При прохождении через фильтр световой пучок вновь испытывает рассеяние за счет дифракции. После прохождения через линзу L₂ дифрагированный пучок создает изображение (распределение амплитуд), которое может быть выражено некоторой функцией G (М). Оказывается, что эта функция является интегральным представлением Фурье типа (5.1), в котором роль спектральной функции выполняет произведение (5.4):

G (M) =f(W) H(W)е^-iWМоdМ_о (5.5)

Это соотношение и лежит в основе метода оптической фильтрации. Функция G (М) в той или иной форме содержит информацию о математических операциях над совокупностью функций F (M) и J (M), Фурье-образы которых представлены в (5.5). Например, если Н (W) представляет вышеупомянутую импульсную реакцию системы, то G (M) выражается следующим образом:

G (М) = F (М_o) J (М - М₀) dM₀. (5.6)

Интегралы вида (5.6) называются интегральными свертками функций, они играют важную роль в математике. Таким образом, метод оптической фильтрации, в частности, позволяет получать свертки функций. При этом функции не обязательно должны иметь аналитические выражения. Например, функция F (Mo) может быть задана таблицей или номограммой. Этоже соотношение (5.6) лежит в основе автоматического распознавания образов. Допустим, что в плоскости П_о последовательно помещаются пластинки, на каждой из которых представлены изображения множества различных объектов. Требуется установить, имеется ли на какой-либо пластинке изображение отыскиваемого объекта и в каком месте пластинки это изображение находится. С этой целью изготовляется специальный фильтр с чертами нужного объекта.

Теперь рассмотрим случай, когда на расположенной в плоскости объекта пластинке имеются наборы периодически повторяющихся по прозрачности элементов с соответствующими пространственными частотами (рис. 5.1). Очевидно, что каждому такому набору в спектральной плоскости соответствует точка, положение которой определяется частотой набора W. В принципиальном отношении дифракция света на периодическом наборе элементов подобна дифракции на решетке с синусоидальной пропускаемостью. Из условия максимума для дифракции на такой решетке следует, что чем меньше период решетки d=l/N и чем, стало быть, больше пространственная частота W=1/d, тем больше угол отклонения дифрагированного пучка. Отсюда следует, что чем больше частота периодического набора элементов на пластинке, тем больше точка, соответствующая этой частоте в спектральной плоскости, удалена от оси симметрии оптической системы. Причем направление, в котором сдвинута от оси эта точка, совпадает с направлением на пластинке, вдоль которого происходит периодическое повторение элементов. Для того, чтобы в плоскости П_И получить изображение набора с пространственной частотой W, надо в плоскость П_С поместить фильтр в виде узкой прозрачной полоски, проходящей через точку W и ориентированной вдоль направления повтора элементов. Если же в спектральную плоскость поместить фильтр в виде прозрачного круга, за пределами которого прозрачности нет, то будут пропущены только те частоты, точки которых лежат в пределах круга. В результате в плоскости П_И будет получена картина, соответствующая объекту после исключения из него пространственных гармоник, частоты которых лежат за пределами фильтрующего круга. Другие виды фильтров исключат из изображения объекта другие наборы частот.

Литература:

1. Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику.- М.: Мир, 1970, 394 с.

2. Матвеев А.Н. Оптика.-М.:Высшая школа, 1985, 351 с.

3. Курс физики: Учебник для вузов: в 2 т./ Под ред. В.Н. Лозовского,-СПб.: Лань, 2001