Правила сложения дисперсий

Если совокупность состоит из нескольких частей, то можно определить в пределах каждой не только среднюю величину, но и дисперсию D_i (частную дисперсию). Выясним, как связана с ними об­щая дисперсия по всей совокупности D. Обозначим частные сред­ние , а общую .

Суммирование в рамках i- йчасти обозначим :

Но

Сделав подстановку, найдем

Отсюда

Чтобы получить общую дисперсию, надо просуммировать все частные суммы и разделить на их количество п = п₁+п₂+…. Таким образом,

Обозначив через σ_i отклонение простой средней от общей, получим:

т.е. общая дисперсия равна сумме средней и частных дисперсий (взвешенной по численности соответственных частей) и среднего квадрата отклонения частных средних от общей средней (тоже со­ответственно взвешенного), или общая дисперсия равна сумме средней из частных дисперсий и дисперсии частных средних.

Это есть правило сложения дисперсий. Оно означает, что об­щая дисперсия складывается из двух слагаемых, одно из кото­рых измеряет вариацию внутри частей совокупности, а вто­рое — различия (вариацию) между этими частями (представ­ленными средними).

Рассмотрим более подробно смысл, каждой из дисперсий.

Пусть имеются данные о средних и дисперсиях заработной платы по менеджерам, работающим в двух компаниях (табл. 5.16)

Таблица 5.16

Данные для определения средних и дисперсий по заработной плате компаний «Бест» и «Иванов и К°»

Группы менеджеров	Число ме­неджеров, чел. п i	Средняя месячная плата одного менед­жера, руб.	Дисперсия заработной платы
А
Менеджеры, работающие в компании «Бест» Менеджеры, работающие в компании «Иванов и К°»

Определим общую среднюю заработную плату и дисперсию заработной платы D для всей совокупности менеджеров на основе, правил сложения средних дисперсий:

Отсюда D = 15750 + 384 = 16134.

Каждая из исчисленных дисперсий имеет определенный смысл.

Общая дисперсия (О) показывает величину вариации заработ­ной платы, которая вызвана всеми факторами, влияющими на раз­мер заработной платы: различиями в оплате, квалификации, инди­видуальных качеств менеджеров и т.п.

Внутригрупповые, частные дисперсии показывают величину вариации, которая вызвана любыми причинами, например, функ­циональными областями работы менеджеров.

Средняя из частных дисперсий, естественно, так же отражает вариацию, вызванную прочими кроме различий в специализации менеджеров причинами, но уже не по отдельным группам менедже­ров, а в среднем по всей совокупности менеджеров.

Межгрупповая дисперсия, или дисперсия групповых средних, характеризует вариацию групповых средних, которая обусловлена различиями групп менеджеров по разным компаниям.

Если сгруппировать менеджеров внутри компании по другому признаку, оказывающему влияние на заработок (например, по уров­ню квалификации), то можно из внутригрупповых дисперсий выде­лить дисперсию, показывающую величину вариации, вызванной вторым группировочным признаком, и дисперсию остаточную, ха­рактеризующую вариацию за счет всех причин, кроме двух группировочных признаков. Теоретически такую комбинационную груп­пировку можно продолжить до тех пор, пока не будут исчерпаны все причины, воздействующие на исследуемый признак. Общая дисперсия при этом будет представлена как сумма дисперсий, ха­рактеризующих вариацию, вызванную каждой из причин, т.е.

Доля каждой из полученных дисперсий в общей дисперсии по­кажет степень влияния соответствующего признака на исследуемый результативный признак.

Именно поэтому правило сложения дисперсий находит широ­кое применение в анализе взаимосвязей и зависимостей.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое средние величины и каковы их роль и значение?

2. Какие существуют средние величины и как рассчитываются средняя арифметическая простая и взвешенная?

3. Как осуществляется расчет средней арифметической по данным интервального ряда?

4. Свойства средней арифметической.

5. Средняя хронологическая для интервального и моментного ряда.

6. Что такое средняя гармоническая и как рассчитать среднюю гармоническую простую и взвешенную?

7. В чем сущность моды и как она рассчитывается для вариационного и интервального ряда?

8. Что такое медиана, какими свойствами она обладает и как рассчитывается медиана для интервального ряда?

9. Квартили и децили. Для каких целей они применяются и как они рассчитываются?

10. Какие существуют показатели вариации и для каких целей они применяются?

11. Что такое среднее квадратическое отклонение и каков порядок его вычисления?

12. Что такое коэффициент вариации, для каких целей он применяется и как рассчитывается?

13. В чем сущность показателя дисперсия?

14. Свойства и правила сложения дисперсий.