Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами. Поэтому, если две прямые заданы каноническими уравнениями вида

и косинус угла между ними можно найти по формуле:

(11)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых тоже сводятся к соответствующим условиям для их направляющих векторов:

- условие параллельности прямых, (12)

- условие перпендикулярности прямых. (13)

Угол φ между прямой, заданной каноническими уравнениями и плоскостью, определяемой общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0, можно рассматривать как дополнительный к углу ψ между направляющим вектором прямой и нормалью к плоскости. Тогда

(14)

Условием параллельности прямой и плоскости является при этом условие перпендикулярности векторов n и а:

Al + Bm + Cn = 0, (15)

а условием перпендикулярности прямой и плоскости – условие параллельности этих векторов:

A/l = B/m = C/n. (16)

Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через прямую линию и точку М₁(2, 3, 5).

Решение.

Пусть М (х, у, z) - текущая точка плоскости. В таком случае векторы M₀M = (x − 1, y + 1, z − 2), M₀M₁ = (3, 2, 7) и p = (2, 0, − 1) компланарны. Запишем условие компланарности этих векторов в координатной форме

и разложим этот определитель по первой строчке

− 2 (x - 1) + 17 (y + 1) − 4 (z − 2) = 0.

Раскрыв скобки и приведя подобные, получим искомое уравнение плоскости

− 2 x + 17 y − 4 z + 27 = 0..