Для оценки параметров a и b линейной парной регрессии с использованием имеющегося набора результатов наблюдений наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов εi - отклонения результатов наблюдений yi от рассчитанных по линейной модели (2.3) значений yрi:
(2.5)
Такое решение может существовать только при выполнении условия , то есть когда не все наблюдения проводились при одном и том же значении факторной переменной (сумма квадратов равна нулю, если каждое слагаемое равно нулю). Это условие называется условием идентифицируемости модели.
По данным, приведённым в Примере 1, построим линейную модель для объёма продаж мороженного y в зависимости от температуры воздуха x1. Промежуточные данные вычислений и модельные значения yр приведены в Таблице 2.
Таблица 2.
x1 | y | x1i-x1ср | yi-yср | (x1i-x1ср)2 | (x1i-x1ср)*(yi-yср) | yр | ε | |
5,0 | -15,0 | -16,07 | 225,00 | 241,07 | -4,43 | 6,43 | ||
10,0 | 3,5 | -10,0 | -14,57 | 100,00 | 145,71 | 3,07 | 0,43 | |
15,0 | -5,0 | -13,07 | 25,00 | 65,36 | 10,57 | -5,57 | ||
20,0 | 0,0 | -6,07 | 0,00 | 0,00 | 18,07 | -6,07 | ||
25,0 | 5,0 | 3,93 | 25,00 | 19,64 | 25,57 | -3,57 | ||
30,0 | 40,0 | 10,0 | 21,93 | 100,00 | 219,29 | 33,07 | 6,93 | |
35,0 | 42,0 | 15,0 | 23,93 | 225,00 | 358,93 | 40,57 | 1,43 | |
Сумма | 140,0 | 126,5 | 0,0 | 0,00 | 700,00 | 1050,00 | 126,50 | 0,00 |
Среднее | 20,0 | 18,1 | b= | 1,5 | a= | -11,93 |
|
|
|
Таблица и график построены средствами табличного процессора Excel.
Таким образом уравнение парной линейной модели имеет вид:
.