2014-02-09
1190
Фильтрация (выделение) случайного сигнала.
Имеется реализацией случайного сигнала u(t) в виде аддитивной смеси гауссовской помехи X(t) и сигнала s(t). В общем случае сигнал s(t) тоже может быть случайным с нормальным распределением.
Требуется путем линейной фильтрации этой реализации найти наилучшим образом оценку значения сигнала.
– оценка сигнала.
Другими словами требуется осуществить оптимальную фильтрацию (выделение) сигнала из его смеси с помехой.
Заметим, что такая оптимальная фильтрация коренным образом отличается от известной нам линейной согласованной фильтрации полностью известного сигнала на фоне белого гауссовского шума, где критерием оптимальности было получение максимального отношения сигнал – шум ценой искажения сигнала. Следовательно, критерий оптимальности в рассматриваемой задачи тоже должно быть другим.
Примем оценку сигнала профильтрованное значение реализации u(t), где g(t) – импульсная характеристика линейного фильтра.
(1)
Обычно качество оценки характеризуют среднеквадратическим отклонением этой оценки от оцениваемого сигнала.
|
|
|
(2)
- погрешность оценки.
Усреднение в выражении (2) можно проводить либо по ансамблю реализаций, либо путем усреднения одной реализации по времени(если это эргодический сигнал).
Будем считать оптимальным такой линейный фильтр, который обеспечивает минимальное среднеквадратическое отклонение.
(3) 
-критерий оптимальности для рассматриваемой задачи.
Следовательно, необходимо так подобрать характеристики линейного фильтра g(t) или 
, чтобы выполнялось условие (3).
Выражение (2) можно записать так:
В известной литературе показано, что условием минимизации среднеквадратического отклонения является следующее требование: погрешность оценки и реализация случайного сигнала u(t-τ) должны быть ортогональными или статистически независимыми.
(5)
Обозначим:
- взаимно корреляционная функция сигнала s(t) и реализации.
- реализация случайного сигнала.
С учетом этих выражений выражение (5) превращается в выражение (6):
(6) - уравнение Винера – Хопфа.
В частном случае, когда сигнал и помеха статистически независимы, т. е. взаимно корреляционная функция равна 0, ВКФ превращается:
(7)
В принципе, решая это уравнение, можно найти характеристику gопт(t).
Однако проще при решении задачи перейти от АКФ к их энергетическим спектрам.
Тогда уравнение (7) заменим уравнением (8):
(8)
Gs(
)- энергетический спектр сигнала.
Gu()-энергетический спектр случайного сигнала u(t).
Gu()=Gs()+Gx()
- комплексный коэффициент передачи линейного фильтра.
Равенство выражение (8) выполняется при условии:
|
|
|
Правая часть последнего выражения является вещественной, следовательно:
- АЧХ ОФ.
Это означает, что ФЧХ этого фильтра должна быть тождественно равна 0.
(9)
Если помеха X(t) отсутствует, значит Gx(
)=0, следовательно Hопт()=1.
В известной литературе показано, что если фильтр имеет характеристику (9), то среднеквадратическое отклонение:
(10)
, если Gs()Gx()=0 (не перекрываются спектры сигнала и помехи).
В общем случае невозможно.
Пример:
Раздел 8.
