2014-02-09
1586
Алгебраических уравнений
Итерационные методы решения систем линейных
ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
Лекция-3
В отличие от прямых методов, итерационные методы обычно не дают точного ответа за конечное число шагов, однако на каждом шаге уменьшают ошибку на какую-то долю. Итерации прекращают, когда ошибка становится меньше допуска, заданного вычислителем (пользователем). Величина финальной ошибки зависит от количества итераций, а также от свойств метода и СЛАУ. Другими словам, итерационные методы дают решение СЛАУ в виде предела последовательности некоторых векторов, построение которых осуществляется посредством единообразного процесса, называемого итерационным процессом.
Рассмотрим два простейших итерационных метода решения СЛАУ – метод простой итерации и метод Зейделя.
Пусть требуется решить СЛАУ
(2.3.1)
Итерационные методы решения системы уравнений (2.3.1) состоят в построении последовательности векторов
(2.3.2)
по некоторому алгоритму, такому, что из 
следует 
. При этом
|
|
|
(2.3.3)
где 
– точное решение системы, а 
– называется начальным приближением решения.
Вычисления ведутся до тех пор, пока норма разницы двух последовательных приближений не станет
, (2.3.4)
где e – малое положительное число (заданная точность). С точностью до e решение принимается равным 
.
