- Абсолютная сходимость
Если интеграл Лапласа абсолютно сходится при , то есть существует предел
то он сходится абсолютно и равномерно для и — аналитичная функция при ( — вещественная часть комплексной переменной ). Точная нижняя грань множества чисел , при которых это условие выполняется, называется абсциссой абсолютной сходимости преобразования Лапласа для функции .
- Условия существования прямого преобразования Лапласа
Преобразование Лапласа существует в смысле абсолютной сходимости в следующих случаях:
- : преобразование Лапласа существует, если существует интеграл ;
- : преобразование Лапласа существует, если интеграл существует для каждого конечного и для ;
- или (какая из границ больше): преобразование Лапласа существует, если существует преобразование Лапласа для функции (производная от ) для .
Примечание: это достаточные условия существования.
- Условия существования обратного преобразования Лапласа
Для существования обратного преобразования Лапласа достаточно выполнение следующих условий:
- Если изображение — аналитичная функция для и имеет порядок меньше −1, то обратное преобразование для неё существует и непрерывно для всех значений аргумента, причём для .
- Пусть , так что аналитична относительно каждого и равна нулю для , и , тогда обратное преобразование существует и соответствующее прямое преобразование имеет абсциссу абсолютной сходимости.
Примечание: это достаточные условия существования.
- Теорема о свёртке
Основная статья: Теорема о свёртке
Преобразованием Лапласа свёртки двух оригиналов является произведение изображений этих оригиналов:
- Умножение изображений
Левая часть этого выражения называется интегралом Дюамеля, играющим важную роль в теории динамических систем.
- Дифференцирование и интегрирование оригинала
Изображением по Лапласу первой производной от оригинала по аргументу является произведение изображения на аргумент последнего за вычетом оригинала в нуле справа:
В более общем случае (производная -го порядка):
Изображением по Лапласу интеграла от оригинала по аргументу является изображение оригинала, делённое на свой аргумент:
- Дифференцирование и интегрирование изображения
Обратное преобразование Лапласа от производной изображения по аргументу есть произведение оригинала на свой аргумент, взятое с обратным знаком:
Обратное преобразование Лапласа от интеграла изображения по аргументу есть оригинал этого изображения, делённый на свой аргумент:
- Запаздывание оригиналов и изображений. Предельные теоремы
Запаздывание изображения:
Запаздывание оригинала:
Примечание: — функция Хевисайда.
Теоремы о начальном и конечном значении (предельные теоремы):
, все полюсы в левой полуплоскости.
Теорема о конечном значении очень полезна, так как описывает поведение оригинала на бесконечности с помощью простого соотношения. Это, например, используется для анализа устойчивости траектории динамической системы.
- Другие свойства
Линейность:
Умножение на число: