2014-02-09
1405
Кривизна поверхности эллипсоида в произвольном направлении определяется кривизной нормального сечения, проходящего в азимуте А и выражается уравнением Эйлера в функции главных радиусов кривизны
, (4. 16)
откуда несложно получить выражение для радиуса кривизны произвольного нормального сечения
(4. 17)
Данное выражение получим после несложных преобразований в виде
, (4. 18)
где h2 = e/2 cos2 B. Это обозначение принято в высшей геодезии и будет использовано нами дальше.
Для решения целого ряда практических задач геодезии на территориях малых размеров с целью упрощения рабочих формул для вычислений поверхность эллипсоида заменяют поверхностью шара, радиус которого принимается равным среднему интегральному значению радиусов кривизны эллипсоида в данной точке. Некоторые из этих задач мы будем рассматривать дальше. Естественно, при этом важным является вопрос расчета точности вычислений.
Среднее интегральное значение для выражения (4. 17) в точке будет зависеть только от азимута. При этом видно из выражения (4. 17), что эта зависимость одинакова в четырех квадрантах, поэтому можем записать
|
|
|
. (4. 19)
Подставляя выражение (4. 17) в (4. 18), разделим числитель и знаменатель подынтегральной функции на Ncos2 A , в результате запишем
(4. 20)
Для приведения полученного выражения к табличному интегралу введем новую переменную по формуле
,
В результате имеем выражение, взамен (4. 19)
(4. 21)
Как видим, средний радиус кривизны поверхности эллипсоида равен среднему геометрическому из главных радиусов кривизны. Подставляя в полученное выражение значения главных радиусов кривизны, имеем
(4. 22)
Полезно запомнить выражения для радиусов кривизны, если используется полярный радиус кривизны (4. 13) и вторая функция широты (4. 9).
(4. 23)
Вторую функцию широты можно также выразить через второй эксцентриситет в виде
(4. 24)
Средний радиус кривизны эллипсоида применяется для упрощения решения целого ряда геодезических задач: решении треугольников, редукционной проблемы, а также в картографии.
