И эллиптических уравнений

Канонический вид гиперболических, параболических

При помощи общих интегралов определяются новые переменные и, поэтому форма записи уравнения в новых переменных будет зависеть от дискриминанта . Рассмотрим все возможные случаи .

1) Дискриминант в области . Гиперболический тип уравнения. В этом случае правые части уравнений (10) будут действительными и различными функциями. Решая эти дифференциальные уравнения найдем два общих интеграла и . Тогда, согласно доказанному выше, полагая в качестве новых переменных , , получим и в новых переменных исходное уравнение будет иметь следующий вид .

Преобразуя, получим

, .

Это и есть каноническая форма гиперболического уравнения. Приведем еще одну каноническую форму для гиперболических уравнений. Для этого введем новые переменные

, .

Вычислим частные производные

, .

Подставляя эти выражения в первую каноническую форму, получим

Это вторая каноническая форма для гиперболических уравнений.

2) Дискриминант в области . Параболический тип уравнений. В этом случае решения уравнений (10) совпадают и в результате решения этих уравнений получим только один общий интеграл . Возьмем в качестве новой переменной . В качестве второй переменной возьмем любую функцию , функционально не зависящую от , то есть такую, что

При таком выборе получим

При этом в силу произвольности . Кроме того,

Учитывая это, получим

, .

Получили каноническую форму для параболических уравнений.

3) Пусть дискриминант в области . Эллиптический тип уравнений. В этом случае правые части уравнений (10) будут комплексными функциями. Тогда общий интеграл также будет комплексной функцией. Обозначим эту функцию через . Сопряженная к ней также будет общим интегралом. Тогда можно ввести новые комплексные переменные

, .

В результате введения этих переменных, как и в случае гиперболических уравнений, получим - канонический вид эллиптических уравнений. Рассмотрим также и другую каноническую форму с вещественными переменными. Для этого введем новые, вещественные переменные

, .

Откуда получим . Вычисляя коэффициенты по формулам (6) получим вторую каноническую форму для эллиптических уравнений

Пример 1. Уравнение в частных производных , заданное в области , преобразовать к каноническому виду.

Решение. Вычислим дискриминант данного уравнения

Следовательно, данное уравнение гиперболического типа. Составим характеристическое уравнение

Откуда получим , . Решим эти дифференциальные уравнения методом разделения переменных:

Откуда, интегрируя, получим или . Аналогично решим второе уравнение

Таким образом, общие интегралы будут такими. Введем, согласно общей теории преобразований, новые переменные

По формулам (5) для частных производных найдем выражения в новых переменных:

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим канонический вид в новых переменных:

Пример 2. Преобразовать в канонический вид уравнение

Решение. Вычислим дискриминант . Дискриминант равен нулю и, следовательно, уравнение параболическое. Составим характеристическое уравнение:

или

Откуда и общий интеграл этого уравнения будет

Введем новые переменные и найдем выражения для частных производных в новых переменных

Подставляя в исходное уравнение эти выражения, получим - канонический вид исходного уравнения.

Пример 3. Преобразовать в канонический вид уравнение

Решение. Вычислим дискриминант Следовательно, уравнение эллиптическое. Составим характеристическое уравнение Решая это уравнение, получим

Откуда , Тогда общими интегралами будут

Обозначим через и введем новые переменные Вычисляя по формулам (5) частные производные и подставляя их в исходное уравнение, получим - каноническая форма для исходного уравнения.