Определение 4. Определение предела последовательности

Предел последовательности

Примеры.

Предельная точка.

Окрестность точки.

Определение 2. Окрестностью точки A на числовой прямой называется любой интервал CD, содержащий эту точку. ε - окрестностью точки A называется интервал (A - ε, A + ε), или, в виде неравенства,. (см. Рис. 3. а)).

ε - окрестность точки A обозначается: U_ε (A) или ε(A) и записывается с помощью неравенства: U_ε (A):.

Определение 2 '. Проколотой окрестностью точки A на числовой прямой называется совокупность интервалов CA ∪ AD, то есть интервал CD не содержащий точку A. Проколотой ε - окрестностью точки A называется интервал совокупность интервалов (A - ε, A) ∪ (A, A + ε),

или, в виде двойного неравенства,. (см. Рис. 3. б)).

Проколотая ε - окрестность точки A обозначается или и записывается с помощью двойного неравенства неравенства:

:.

Рис. 3. а) Рис. 3. б)

Определение 3. (геометрическое) Точка a называется предельной точкой последовательности, если в любой ее окрестности содержится бесконечное множество точек (элементов) последовательности.

Определение 3 '. (формализованное)

a - предельная точка.

a - предельная точка, если для любого положительного ε и для любого номера последовательности N всегда найдется элемент последовательности с номером n> N, лежащий в ε - окрестности точки a.

Пояснение (к определению 3 ' ). Если для любого номера последовательности N всякий раз найдется n-ый элемент (n > N) такой, что он будет отличаться от a меньше, чем на ε (), в ε - окрестности точки a наберется бесконечное число элементов последовательности.

Формализованные определения позволяют проводить строгие математические доказательства, геометрические - позволяют понять формализованное определение. Геометрические доказательства без наличия строго формализованного доказательства чаще всего доказательством не считают.

o Последовательность{ x_n }, где x_n = - (1)ⁿ имеет две предельные точки a₁ = 1 и a₂ = - 1 (Рис. 4. а)).

o Последовательность{ x_n }, где x_n = 1/n имеет одну предельную точку a = 0 (Рис. 4. б)).

o Последовательность{ x_n }, где имеет три предельные точки. (Докажите самостоятельно)

o Последовательность{ x_n }, где имеет n предельных точек.

o Последовательность{ x_n }, где не имеет предельных точек (у нас пока не введено понятия окрестности для бесконечности ∞, поэтому пока мы не можем сказать, что у данной последовательности есть предельная точка, равная ∞).

Рис. 4. а). Рис. 4. б).

(формализованное) Число A называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного ε найдется номер последовательности N(ε), вообще говоря, зависящий от ε такой, что для любого n > N, все элементы последовательности с номером n >N попадут в ε - окрестность точки A:.

Пояснение. Для любого сколь угодно малого ε всякий раз найдется такой номер N последовательности, что с ростом n (n > N) значения элементов последовательности становятся сколь угодно близкими к A, то есть отличаются от A меньше, чем на ε (Рис. 4. б)), это и означает, что A - предел.

Геометрически: если A предел последовательности {x_n}, то за пределами ε - окрестности точки A окажется лишь конечное число точек (элементов) последовательности.

o На рисунке 4.а) последовательность { (- 1)ⁿ } имеет две предельные точки, и, за пределами ε - окрестности одной точки лежит бесконечное число точек той же последовательности, значит данная последовательность не имеет предела.

o На рисунке 4.б) последовательность {1/n}имеет одну предельную точку, и она является пределом последовательности.

ü Но не следует думать, что наличие единственной предельной точки гарантирует существования предела. Приведем контрпример:

Контрпример. Рассмотрим последовательность, состоящую из смешанного набора точек двух последовательностей {n} и {1/n}. Ее элементы:

1, 1, 1/2,1/3, 3, 1/4, 4, …1/n, n, ….

Условно обозначим эту последовательность {1/n, n}. У нее имеется единственная предельная точка 0, но предела у последовательности нет. Так как за пределами окрестности точки 0 имеется бесконечное число элементов последовательности. (Рис. 5)

Рис. 5

Контрпример позволяет опровергнуть утверждение и не проводить длинное, сложное доказательство. Мы предположили, что у всех числовых последовательностей с единственной предельной точкой существует предел. Мы привели контрпример и показали, что это не так.

Задачи. С помощью определения предела (формализованного) доказать

a), c), e) ∄,

b), d), f) ∄.

a)

Докажем, исходя из определения предела.

По сути, нам надо определить при каких n будет верно неравенство.

(n - натуральное число, всегда положительное).

Положим, где функция - выражает собой целую часть числа x.

Например, целая часть числа 2,89 есть число 2: [2,89] = 2.

Имеем,

.

Это и означает, что.

b),

Исходя из определения предела, определим при каких n будет верно неравенство.

.

Положим,

тогда,

..

Это и означает, что.

c),

Исходя из определения предела, определим, при каких n будет верно неравенство.

.

Для того чтобы увеличить дробь нужно увеличить числитель и уменьшить знаменатель. Проведем оценки:

Увеличиваем слагаемые числителя	Уменьшаем слагаемые знаменателя

Положим,

тогда,..

Это и означает, что.

d),

Исходя из определения предела, определим, при каких n будет верно неравенство.

Здесь мы домножили числитель и знаменатель на выражение, дающее в числителе формулу квадрата разности.

Для того чтобы увеличить дробь нужно уменьшить знаменатель:

Уменьшаем слагаемые знаменателя

.

Положим,

тогда,.

Мы доказали, что.

e) ∄

, так как с ростом n значения { (-1)ⁿ } не становятся сколь угодно

близкими к 1. Например, при ε = 1 условие близости

не выполняется при всех нечетных n и, следовательно,

не существует такое число N, чтобы для всех n>N было.

, так как с ростом n условие близости

не выполняется при всех четных n.

, так как для ε = ½ с ростом условие близости

не выполняется при всех n.

f) ∄ не существует. Докажите самостоятельно.

Указание: последовательность{ } имеет три предельные точки

.

Для n = 3k+1, где k - любое натуральное число.
Для n = 3k+2, где k - любое натуральное число.
Для n = 3k, где k - любое натуральное число.

Теорема. 1. (о единственности предела). Если предел последовательности существует, то он единственный.

Доказательство. Позже.

Определение 5. Определение ограниченной последовательности.

Последовательности {x_n}, называется ограниченной, если

∃ M, что.

Теорема. 2. (об ограниченности последовательности, имеющей предел). Если предел последовательности имеет предел, то она ограничена.

Доказательство. Позже.

Замечание. Обратное: если последовательность ограничена, она имеет предел, - неверно.

Контрпримеры. { (-1)ⁿ }, { }, { n }… Придумайте еще примеры.

Следствие. Если последовательность не ограничена, то она не имеет предела.

Доказательство. Если последовательность не ограничена и имеет предел, то по Теореме 2 она ограничена.