2014-02-09
2590
Определение 9. Пусть дана последовательность и некоторая совокупность натуральных чисел:, для которой
.
Последовательность называется подпоследовательностью и обозначается.
Элементы подпоследовательности – это подмножество элементов данной последовательности, для которых сохраняется порядок. Например, пусть дана последовательность, для которой, т.е. ее элементы – это
.
Тогда подмножество элементов, которые стоят на четных местах в, выписанных с сохранением их порядка, даст подпоследовательность:
.
Совокупность - не является подпоследовательностью, потому что здесь нарушен порядок первоначальный элементов: в последовательности сначала встречается элемент 2, а потом 4, поэтому и в подпоследовательности, которая содержит и 2, и 4, надо было сохранить такой самый порядок.
Замечание 4. Любая последовательность имеет бесконечно много подпоследовательностей. Сама последовательность является одновременно своей подпоследовательностью.
Теорема 2 (Больцано-Вейерштрасса). Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность (без доказательства).
Пример. Рассмотрим последовательность, для которой:. Эта последовательность является ограниченной: для. Из этой последовательности действительно можно выделить сходящуюся подпоследовательность (и не одну). Например, подпоследовательность элементов, которые имеют четные номера: 1,1,1,.... Эта подпоследовательность является сходящейся, ее предел – 1.
Замечание5. Если последовательность имеет предел, это все ее подпоследовательности имеют тот же самый предел.
Задание. Доказать замечание 5.
Утверждение 3. Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к разным пределам, то данная последовательность является расходящейся.
Задание. Доказать утверждение 2.
Замечание6. Если из последовательности можно выделить две подпоследовательности, которые стремятся к одному пределу, то о сходимости представленной последовательности вообще ничего сказать нельзя: она может быть как сходящейся (если все другие ее подпоследовательности стремятся к тому же самому пределу), так и расходящейся (если существует какая-то другая подпоследовательность у представленной последовательности, которая стремится к другому пределу).
Теорема 3. Из любой последовательности обязательно можно выделить сходящуюся подпоследовательность, или бесконечно большую подпоследовательность (без доказательства).
