Критерий Коши сходимости последовательности

Определение числа Ейлера

Подпоследовательности и их свойства

Критерий Коши сходимости последовательности

Определение числа Ейлера

План

Рассмотрим последовательность, для которой. Покажем, что эта последовательность является сходящейся. Перед этим получим некоторые вспомогательные выводы.

Имеет место неравенство Бернулли:

. (1)

Для доказательства (1) воспользуемся методом математической индукции:

Шаг 1. Проверим, что (1) выполняется для малых значений, например,. Действительно, если, то (1) будет иметь вид:

,

и очевидно будет истинным.

Шаг 2. Предположим, что (1) уже доказано для некоторого, т.е. уже доказано, что

. (2)

Шаг 3. Покажем, что, учитывая (2), формула (1) имеет место для, т.е.

. (3)

Рассмотрим детально:

что говорит о выполнении (3) и доказательстве (1).

Рассмотрим последовательность, где. Покажем, что эта последовательность монотонно убывает, то есть для. Для этого оценим отношение:

Таким образом,, а потому монотонно убывает. Поскольку все элементы положительные, то последовательность ограничена снизу. По теореме 7 лекции 2 этоозначает, что - сходящаяся.

Элементы представляются в виде:

,

откуда

.

Тогда

.

Поскольку мы доказали, что сходящаяся, то из последнего равенства вытекает, что и также сходящаяся, что и требовалось доказать.

Определение 1. Числом Эйлера (обозначается -) называется предел последовательности, для которой, т.е.

.

Число Эйлера является иррациональным числом, его приближенное значение:

.

Определение 2. Числовая последовательность называется фундаментальной, если для, что для будет выполняться:.

Иначе определение 2 можно сформулировать следующим образом:

Числовая последовательность называется фундаментальной, если

для, что для будет выполняться:.

Для фундаментальной последовательности вместе с ростом номера элементов последовательности уменьшается расстояние между ними.

Теорема 1 (критерий Коши сходимости числовой последовательности). Для того, чтобы числовая последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной (без доказательства).

Таким образом, каждая числовая последовательность является одновременно сходящейся и фундаментальной или одновременно расходящейся и нефундаментальной.

Определение 3. Числовая последовательность будет нефундаментальной, если

, что для такие, что будет выполняться:.

Пример. Доказать, что последовательность, для которой, является нефундаментальной.

Пользуясь определением 3, попробуем найти такое, что для любого натурального номера найдутся элементы последовательности с номерами, такие, что будет выполняться:

.

Заметим, что если числа будут иметь разную четность (одно из них будет четным, а другое нечетным), то, независимо от их непосредственных значений, значение. Учитывая это, возьмем, тогда для любого натурального номера можно рассмотреть элементы с номерами (и имеют разную четность):

.

Таким образом, рассмотренная последовательность является нефундаментальной, а потому расходящейся.

Задание. Доказать, что последовательность, для которой, является нефундаментальной.

Задание. Доказать, что последовательность, для которой, является нефундаментальной.

Определение 4. Будем говорить, что последовательность стремится к и обозначать (или), если для, что для будет выполняться:.

Если последовательность стремится к, она неограничена с верху.

Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле, стремятся к.

Определение 5. Будем говорить, что последовательность стремится к и обозначать (или), если для, что для будет выполняться:.

Если последовательность стремится к, она неограничена с низу.

Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле, стремятся к.

Определение 6. Будем говорить, что последовательность стремится к и обозначать (или), если для, что для будет выполняться:.

Если последовательность стремится к, она неограничена.

Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле, стремятся к.

Замечание 1. Последовательности, которые стремятся к,, являются расходящимися, потому что они являются неограниченными.

Определение 7. Последовательности, которые стремятся к,,, называются бесконечно большими.

Определение 8. Последовательности, которые стремятся к 0, называются бесконечно малыми.

Пример. Последовательности, для которых -ый член определяется по формуле, являются бесконечно малыми.

Замечание 2. Из теоремы 6 лекции 2 вытекает, что сумма, произведение бесконечно малых последовательностей, произведение бесконечно малой последовательности на постоянную будет бесконечно малой последовательностью.

Замечание 3. Пусть последовательность бесконечно малая, тогда последовательность - бесконечно большая. Если последовательность бесконечно большая, то последовательность - бесконечно малая.

Задание. Доказать замечание 2.

Утверждение 1. Пусть последовательность бесконечно малая, а последовательность - ограничена. Тогда последовательность - бесконечно малая.

Задание. Доказать утверждение 1.

Утверждение 2. Пусть последовательность бесконечно большая, а последовательность - ограничена. Тогда последовательность - бесконечно малая.

Задание. Доказать утверждение 2.

Пример. Исследовать на сходимость последовательность, для которой.

Представим

,

тогда последовательность можно рассматривать как произведение двух последовательностей: (такая последовательность является бесконечно малой) и (эта последовательность является ограниченной). Тогда по утверждению 1 последовательность есть бесконечно малой, то есть

.