Функция Грина (источника) для круга может быть получена таким же способом, как и функция для сферы. В этом случае функцию следует искать в виде
.
Повторяя рассуждения предыдущего пункта, мы найдем функцию G в виде:
,
где , , , - радиус круга (рис. 11). Нетрудно убедиться в том, что определенная таким образом гармоническая функция обращается в нуль на границе .
P r 1 M1
r
R r1
M0
r
O
Рис. 11
Для решения первой краевой задачи надо вычислить значения на окружности C. Вычисления проходят аналогично случаю сферы и дают:
.
Пусть - полярные координаты точки P, лежащей на окружности, а (- координаты точки , тогда
.
Подставляя в формулу
это выражение для и принимая во внимание, что
и ,
приходим для функции к выражению
,
называемому интегралом Пуассона для круга.