Операторные неравенства

Общая теория устойчивости разностных схем, основанная на установлении неравенств между разностными операторами, построена А.А. Самарским[5]. Эта теория позволяет для многих линейных систем получить необходимые и достаточные условия устойчивости. Рассмотрим одно из таких условий устойчивости.

Напомним некоторые свойства операторов, отображающих гильбертово пространство на себя. Оператор A называется неотрицательным (A ³ 0), если (Ax, x) ³ 0 для любого ненулевого вектора x Î H, называется положительным (A > 0) при (Ax, x) > 0 и положительно определенным при (Ax, x) ³ e (x, x), e > 0. Неравенство A ³ B понимается в том смысле, что A - B ³ 0. При помощи положительного оператора A можно ввести так называемую энергетическую норму : .

Оператор A называется самосопряженным, если (Ax, y) = (x, Ay) для любых x, y Î H. Квадратным корнем из самосопряженного неотрицательного оператора A называется такой оператор B, что B × B = A. Оператор B обозначают A ^1/2, он существует, является самосопряженным и неотрицательным.

Исследуем устойчивость двуслойной разностной схемы, которая представлена в так называемой канонической форме:

. (76)

Теорема. Если операторы A и B самосопряженные, не зависят от номера слоя m и выполняется условие

, (77)

то схема (76) устойчива по начальным данным в энергетической норме , т.е.

. (78)

Доказательство. Для исследования устойчивости по начальным данным правую часть можно отбросить. Полагая j = 0 и умножая (76) слева на A ^1/2 B ^-1, найдем

. (79)

Введем новую переменную и преобразуем разностную схему (79) к виду

,

при этом оператор S является самосопряженным.

Перепишем неравенство (77) в виде:

. (80)

Умножим неравенство (80) слева и справа на положительный оператор A ^1/2, тогда

или в другой форме

.

Последнее неравенство позволяет записать следующую оценку

. (81)

Норма же связана с энергетической нормой простым соотношением:

. (82)

Из (81), (82) следует (78). Теорема доказана.