Экспериментальный анализ одномерной случайной величины

Пусть имеется набор (выборка) экспериментальных данных х ₁, х ₂,..., х_N. Обработку этих данных для получения эмпирических характеристик одномерной случайной величины производят обычно в такой последовательности.

2.1 Построение вариационного ряда. Вариационный ряд z ₁, z ₂,..., z_N получают из исходных данных путем расположения x_m (m = 1, 2,..., N) в порядке возрастания от x _min до x _max так, чтобы x _min = z ₁ Ј z ₂ Ј... Ј z_N = x _max.

Пусть, например, имеется 5 наблюдений: х₁ = 5; x₂ = 2; х₃ = 4; х₄ = 5; х₅ = 7. Тогда им соответствует вариационный ряд z₁ = 2; z₂ = 4; z₃ = 5; z₄= 5; z₅ = 7.

2.2 Построение диаграммы накопленных частот , являющейся эмпирическим аналогом интегрального закона распределения. Диаграмму строят в соответствии с формулой

, (1.16)

где m _N (х) — число элементов в выборке, для которых значение х_j < х. Практически это делается так. На оси абсцисс указывают значения наблюдений x_т (или z_i). Значение по оси ординат равно нулю левее точки x_min; в точке x_min и далее во всех других точках x_т диаграмма имеет скачок, равный 1/ N. Если существует несколько совпадающих значений x_m, то в этом месте на диаграмме происходит скачок, равный l/ N, где l - число совпадающих точек. Ясно, что для величин х > х _max значение диаграммы накопленных частот равно 1. Отметим, что если N ® Ґ, то ® F (x).

2.3 Построение гистограммы выборки. Гистограмма является эмпирическим аналогом функции плотности распределения f (x). Обычно ее строят следующим образом:

1. Находят предварительное количество квантов (интервалов), на которое должна быть разбита ось 0 х. Это количество К определяют с помощью оценочной формулы

K = 1 + 3,2 lg N, (1.17)

где найденное значение округляют до ближайшего целого числа.

2. Определяют длину интервала:

. (1.18)

Величину D х можно несколько округлить для удобства вычислений.

3. Середину области изменения выборки (центр распределения) (х _max+ х _min)/2 принимают за центр некоторого интервала, после чего легко находят границы и окончательное количество указанных интервалов так, чтобы в совокупности они перекрывали всю область от х _min до x _mах.

4. Подсчитывают количество наблюдений N_m, попавшее в каждый квант: N_m равно числу членов вариационного рада, для которых справедливо неравенство

x_m Ј z_l < x_m + D x. (1.19)

Здесь x_m и x_m + D x — границы m -го интервала. Отметим, что при использовании формулы (1.19) значения z_l, попавшие на границу между (m —1)-м и m -м интервалами, относят к m -му интервалу.

5. Подсчитывают относительное количество (относительную частоту) наблюдений N_m/N, попавших в данный квант.

6. Строят гистограмму, представляющую собой ступенчатую кривую, значение которой на m -м интервале (х_т, х_m + D х)(т = 1, 2,..., К) постоянно и равно N_m/N, или с учетом условия равно N_m/N) D x.