Планирование эксперимента, ортогонального дискретному дрейфу

1⁰ Планирование. Для исключения дискретного (ступенчатого) дрейфа обычную матрицу эксперимента разбивают на ортогональные блоки—такие группы опытов, в пределах которых величина дрейфа постоянна (выполняется условие стационарности внутри блоков) и меняется лишь при переходе от блока к блоку. Разбиение проводится с учетом требования ортогональности вектор-столбцов планирования как между собой, так и вектору дрейфа в пределах каждого блока. В частности, при исследованиях с помощью планов ПФЭ типа N = 2ⁿ для получения полиномиальной модели независимо от дрейфа обычную матрицу ПФЭ разбивают на р блоков

N=N₁+N₂+...+N_p (5.3)

таким образом, чтобы в пределах каждого и-го блока выполнялось условие ортогональности вектор-столбцов нормированных факторов z_i матрицы планирования:

(u=1, 2,..., р; i<l). (5.4)

Такое условие удовлетворяется при использовании в качестве блоков дробных реплик от ПФЭ так, чтобы коэффициент дискретного дрейфа был смешан только с коэффициентом взаимодействий высших порядков.

Допустим, что изучается процесс с тремя независимыми переменными и исследователя интересуют не только линейные коэффициенты, но и парные взаимодействия, при этом имеет место дрейф, обусловленный неоднородностью сырья. Предполагается провести ПФЭ типа 2³ с реализацией первых четырех опытов на одной партии сырья, а оставшихся четырех—на другой. Процедура разбиения матрицы планирования 2³ на блоки состоит в следующем:

1) первый блок строят как матрицу планирования ДФЭтипа 2³-¹ с генерирующим соотношением z₃=z₁z₂;.

2) второй блок строят как матрицу планирования ДФЭ с другим генерирующим соотношением z₃=-z₁z₂;

3) вводят четвертую независимую переменную, характеризующую межблоковый дрейф. Эта переменная приравнивается тройному взаимодействию, которым почти всегда можно пренебречь: Р_бл=z₁z₂z₃.

Очевидно., что по самому принципу построения вектор-столбцы каждого блока ортогональны; две дробные реплики образуют матрицу ПФЭ типа 2³. Ортогональность вектор-столбцов варьируемых факторов и дрейфа позволяет получить раздельные оценки коэффициентов регрессии. Матрица планирования с разбиением на блоки приведена в табл. 5.1.

Эксперимент в точках факторного пространства, принадлежащих первому блоку, дает возможность получить значения у₁, у₂, у₃, у₄ выходной величины, а реализация второго, блока несет информацию о величинах y₅+Dy_t; y₆+Dy_t; y₈+Dy_t, где Dу_t — изменение отклика, обусловленное сменой сырья (т. е. дискретным дрейфом).

Легко убедиться, что при подсчете коэффициентов уравнения составляющие дрейфа Dy_t взаимно уничтожаются и коэффициенты b_i определяются в «чистом виде», как если бы дрейфа не было. Например,

и т. д. (кроме b_o).

Аналогично производится разбиение на два блока матрицы 2⁴, только в этом случае строят две полуреплики типа 2⁴-¹ с генерирующими соотношениями z₄=z₁z₂z₃ и z₄=-z₁z₂z₃, а блоковую составляющую P_бл приравнивают z₁z₂z₃z₄. В том случае, если стабильность условий можно обеспечить лишь для четырех опытов, ПФЭ типа 2⁴ может быть разбит и на четыре блока, каждый из которых строится как четвертьреплика типа 2⁴-² с генерирующими соотношениями:

1) z₃=z₁z₂, z₄=z₁z₂z₃; 2) z₃=-z₁z₂, z₄=z₁z₂z₃;

3) z₃=z₁z₂, z₄=-z₁z₂z₃; 4) z₃=-z₁z₂, z₄=-z₁z₂z₃.

2°. Проведение эксперимента. Реализация матрицы планирования осуществляется по блокам. Так, например, в ПФЭ типа 2³ сначала реализуются четыре точки первого блока на первой партии сырья, а затем четыре точки второго блока на второй партии сырья. Планирование в условиях дискретного дрейфа позволяет проводить дублирующие серии экспериментов. Рандомизацию порядка проведения опытов в каждой из серий проделывают поблочно, т. е. для ПФЭ типа 2³ по таблице случайных чисел находят сначала числа от 1 до 4 для реализации первого блока, а затем числа от 5 до 8 для реализации второго.

3°. Проверку воспроизводимости производят методами, изложенными в теме 3.

4°. Получение математической модели. Коэффициенты уравнения регрессии находят по тем же формулам, что и в теме 3:

(5.5)

Коэффициент межблокового дрейфа (для ПФЭ типа 2³ равный b_бл=-0,5Dу_t) определяют по формуле

. (5.6)

Проверку значимости оценок коэффициентов b_i производят с помощью t-критерия Стьюдента (см. тему 3).

Математическое описание объекта имеет вид

. (5.7)

5°. Проверка адекватности. В том случае, когда количество значимых коэффициентов аппроксимирующего уравнения меньше, чем число строк матрицы планирования N = 2ⁿ, проверку адекватности модели производят с помощью F-критерия Фишера (см. тему 3).