Рассмотрим линейную систему с постоянными коэффициентами
(1) и исследуем расположение траекторий в окрестности точки покоя x = 0, y = 0.
Пусть (2) тогда (3).
Тем самым мы предполагаем, что корни характеристического уравнения (3) отличны
от нуля.
Ι. Характеристическое уравнение имеет действительные и различные корни.
1) . Общее решение имеет вид (4).
Тогда точка х = 0, у = 0 асимптотически устойчива, так как все точки, находящиеся в момент t = t0 в любой -окрестности начала координат (при ) стремятся к началу координат.
Такая точка покоя называется устойчивым узлом.
2) . Точка покоя неустойчива, так как движущаяся по траектории точка с возрастанием t покидает-окрестность начала координат. Можно отметить, что есть движения, приближающиеся к началу координат: .
ΙΙ. Корни характеристического уравнения (3) являются комплексными.
.
Общее решение записывается в виде:
(5), где и - линейные комбинации и .
1) .
с возрастанием t, а второй множитель является ограниченным. Точки, находящиеся при в любой - окрестности начала координат, попадают в -окрестность при возрастании t. Такая точка покоя называется устойчивым фокусом.
|
|
Фокус отличается от узла тем, что касательная к траекториям не стремится к определённому пределу при приближении точки касания к точке покоя.
2) .
Траектории те же, но движение по ним происходит в обратном направлении. Точка покоя неустойчива. Это неустойчивый фокус.
3) .
В силу периодичности решений, траектории – замкнутые кривые, содержащие внутри себя точку покоя, которая в этом случае называется центром. Центр является устойчивой точкой покоя (но асимптотически устойчивой точкой его назвать нельзя).
ΙΙΙ. Корни кратные ().
1) < 0.
Общее решение имеет вид (6), причём, здесь возможна ситуация, когда .
при . Точки покоя называются устойчивыми узлами. Если ,
то такой узел называется дикритическим (устойчивый).
2) >0.
Траектории не отличаются от траектории предыдущего случая, но движение по ним происходит в обратном направлении. В этом случае точка называется неустойчивым узлом.
Рассмотрим случай, когда .
Тогда характеристическое уравнение (3) имеет нулевой корень . Предположим, что . Тогда общее решение имеет вид:
(7).
Исключая из системы (7) t, получим семейство параллельных прямых:
(8).
Если с2 = 0, получим однопараметрическое семейство точек покоя, расположенных на прямой . Если , то при на каждой траектории точки приближаются к лежащей на этой траектории точке покоя .
Точка покоя х = 0, у = 0 устойчива, но асимптотической устойчивости нет.
Если же , то траектории расположены также, но движение точек на траекториях покоя осуществляется в противоположном направлении. Точка покоя х = 0, у = 0 неустойчива.
|
|
3) .
В этом случае можно выделить два подпункта:
1. Общее решение имеет вид: - все точки являются точками покоя, все решения устойчивы.
2. Общее решение имеет вид: , и - линейные комбинации и . Точка покоя х = 0, у = 0 неустойчива.
ЗАМЕЧАНИЕ. Точки покоя х = 0, у = 0 системы (1) является особой точкой уравнения .
ЛЕКЦИЯ 12:
Результат об устойчивости и неустойчивости точки покоя , .
Система
Можно распространить и на линейную систему с постоянными коэффициентами го порядка:
,
Если все действительные части корней характеристического уравнения отрицательны, то тривиальное решение это , асимптотически устойчиво.
Если хоть один корень имеет действительную положительную часть, то неустойчиво.