Если правая часть дифференциального уравнения (1) непрерывна по λ при и удовлетворяет условиям теоремы Пикара, причём постоянная Липшица не зависит от λ, то решение y = y(x, λ) (2) уравнения (1), удовлетворяющего условию непрерывно зависит от λ.
Доказательство.
Аналогично доказательству теоремы Пикара. (3), при .
Тем же методом можно показать непрерывную зависимость решения уравнения от начальных значений . При этом только уменьшается h
Вопрос о непрерывной зависимости решения от начальных данных сводится к вопросу о непрерывной зависимости решения от параметра. Сделаем замену: (4), .
Тогда уравнение ,переходит в уравнение (5), к которому уже можно применить теорему о непрерывной зависимости решения от параметров (f удовлетворяет условиям теоремы Пикара).
Непрерывная зависимость от начальных данных, т.е. , где (или ) означает, что для что из неравенств следует, что
С возрастанием b число , как правило, уменьшается.
Особый интерес вызывает решение, которое мало изменяется при произвольном, но малом изменении начальных значений для сколь угодно больших значений аргумента. Такое решение называется устойчивым.
|
|