2014-02-12
410
точки 
разбивают отрезок 
на отрезки длиной 
;
Покажем, что при 
По формуле Стирлинга
Так как
то
и
Сложим эти выражения.
, следовательно,
следовательно,
что и требовалось доказать.
Заметим, что в условиях теоремы ограничение 
можно заменить на 
Из локальной предельной теоремы вытекает интегральная предельная теорема для схемы серий Бернулли, или так называемая теорема Муавра-Лапласа.
Теорема. В предположениях локальной теоремы, 
,
Заметим, что 
– так называемая плотность гауссовского или нормального распределения 
.
Доказательство. При таких, что 
по локальной теореме
Теорема доказана.
Заметим, что из теоремы Муавра-Лапласа следует закон больших чисел, так как
и, следовательно,
Рассмотрим схему серий Бернулли 
, 
с распределением
и пусть 
– функция 
.
Справедлива следующая теорема Пуассона:
Теорема. Пусть 
так, что 
.
Тогда для любого 
где 
так называемое распределение Пуассона.
Доказательство.
Следовательно, для любого фиксированного
при больших
Однако
и
что и доказывает теорему.
Набор 
образует так называемое пуассоновское распределение, так как 
; 
.
Рассмотрим понятия условных вероятностей и математических ожиданий относительно разбиений. Пусть 
– конечное вероятностное пространство и 
– некоторое разбиение 
, такое что 
, 
.
Для 
определена
Определение. Случайная величина 
определяется как
и называется условной вероятностью события 
относительно разбиения 
.
Свойства:
1) 
при 
2) если 
, то 
3) 
, т.е. 
, т.е. формула полной вероятности.
Пусть 
– случайная величина со значениями в 
.
где 
; разбиение 
– порождено случайной величиной 
.
Определение. 
– условная вероятность события при условии случайной величины .
Заметим, что 
.
Аналогично, если 
– случайные величины, 
– разбиение порожденное с атомами
Обозначим 
.
Определение. 
измерима относительно 
, если 
т.е. если
Теорема. Пусть – простая случайная величина, – простая случайная величина и 
. Пусть 
.
Тогда 
функция 
, такая, что 
.
