Доказательство

Задача о разорении.

Доказательство.

следовательно,

Теорема доказана.

Пусть –количество денег 1-ого игрока, – количество денег 2-ого игрока. Введем последовательность . ; ;

;  ;  независимы.
Обозначим момент разорения одного из игроков :

Поскольку – мартингал , т.е. ;

Так как

то

При этом – мартингал, следовательно,

Таким образом среднее время игры равно .

2. Некоторые задачи и определения математической статистики

Рассмотрим схему серий Бернулли с

.

Пусть (и ) – неизвестны заранее, а наблюдаемы . Вместо традиционно используется – неизвестный оцениваемый параметр. Возможны две постановки задачи:

1) задача оценивания;

2) задача построения доверительных интервалов.

Пусть (здесь ).

Следовательно, задана статистическая модель с

отвечающая независимым испытаниям.

Всякую функцию назовем оценкой.

Определение. Оценка состоятельна, если

Определение. Оценка несмещенная, если

где отвечает мере .

Определение. Оценка эффективна (в классе несмещенных оценок ), если

Пример. Если и , то из закона больших чисел следует, что

т.е. – состоятельная оценка в схеме Бернулли,

следовательно, – несмещенная. Но любая оценка

с несмещенная, и при – состоятельная, а вот эффективна ли она? Ответ – в так называемом неравенстве Рао-Крамера.

Теорема. Для несмещенных оценок справедливо неравенство

где – информация Фишера.

где – функция правдоподобия (логарифмическая),

Продифференцируем по :

и, следовательно, по неравенству Коши-Буняковского

т.е.

где

Неравенство доказано (в том числе для общей схемы, не обязательно для схемы Бернулли).

Покажем с помощью неравенства Рао-Крамера, что в схеме Бернулли –эффективная оценка.

следовательно,

но

следовательно,

а для всякой другой

следовательно, – эффективна.

Из закона больших чисел при

и, следовательно, для любого

поэтому,

и, следовательно,

Определение. Интервал вида , где и – две функции элементарных событий называется доверительным интервалом надежности или доверительным интервалом с уровнем значимости , если для любого

В примере имели место равенства

3. Вероятностная модель в общей постановке (в том числе с бесконечным числом исходов)

Ранее рассматривалось с , а если ? (Рассмотрите пример с интервалом [0,1)).

Определение. Система подмножеств называется - алгеброй, если она является алгеброй и если , , то

(Рассмотрите пример с борелевской -алгеброй , пример с точечной -алгеброй).

Определение. Вероятностной мерой или вероятностью на - алгебре называется числовая функция множеств , , если

 1) ;

 2) при из

 3) .

Определение. (Аксиоматика Колмогорова.) Набор , где

 а) – множество – пространство элементарных событий

 б) – -алгебра подмножеств ; ,

 в) – вероятность на
называется полным вероятностным пространством, а – вероятностью события .

Определение. Случайная величина – это любая определенная на , -измеримая числовая функция (т.е. для любого , где – из борелевской - алгебры – на ).

Определение. Функцией распределения называется .

Функцией распределения может являться любая функция такая, что

 1) – неубывающая функция

 2) , , где ;

 3) непрерывна справа, имеет предел слева , т.е.

и .Тогда

Примеры мер:

 1) дискретных, с кусочно-постоянной функцией распределения

 2) абсолютно-непрерывных с плотностью

 3) сингулярных.

Теорема Лебега.