Тема 4. Математический аппарат моделирования

Интегрирование и линеаризация модели

Компартментальное моделирование

Этап верификации

Верификация модели – анализ записей математической модели с токи зрения адекватности задачи. Верификация заключается в том, что на этапе создания модели воспроизводится круг моделируемых явлений или процессов, для которых имеется достоверный экспериментальный материал.

Компартмент – количество вещ-в, выделяемое в биологической системе и обладающее свойством единства, которое в процессах транспорта и химических преобразований можно рассматривать, как целое. Пример: весь кислород в легких, весль углекислый газ в венах крови и т.п.)

В компартментальной модели каждому компартменту соответствует переменная состояния (концентрация, масса, давление жидкости или газа)

Естественные входы и истоки и искусственные.

Интегральная модель – направлена на изучение общих принципов, явлений присущих группе объектов, систем (интегральные), то есть рассмотрение объекта в целом.

Линейная модель – рассматривает каждый объект в отдельности (в медицине – часто).

Для интегральной модели достаточен этап верификации; для линейной модели – необходима идентификация.

Идентификация – количественный выбор параметров модели, дающий наиболее близкое совпадение с результатами контрольных экспериментов.

Для линейных систем разработано большое количество методов; для нелинейных используются эвристические методы с использованием ЭВМ.

Метод «черного ящика» - исследование системы с точки зрения входов и выходов и изучение реакции системы на те или иные входные параметры, а внутренняя структура не рассматривается.

Минус: не учитывается внутренние изменения, при изменении внешних условий.

«Вход» – «состояние» – «выход» – здесь изменения учитываются, но опять же без учёта внутренних изменений.

Диагностический аппарат – набор формальных правил, позволяющих на основании сведений о больном сформулировать диагноз, а аткже дать количественную или качественную оценку состояния больного.

Мат. Описание строится на основании формулы Байеса.

=

x - набор симптомов.

Pi – список заболеваний.

Допущения:

1) x и Di – независимы.

2) Уравнения влияния симптомов одинаковые.

- вероятность диагноза D при симптоме x.

- Вероятность заболевания по диагнозу.

P(x) – вероятность наличия симптома.

- на основе статистических даных и экспертных оценок.

– наличие симптома при отсутствии диагноза;

– вероятность отсутствия диагноза

ДУ – это уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию y=f(x)

и ее производные y’, y’’ и т.д.

ОДУ содержит одну независимую переменную.

ДУ в частных производных:

y = f (x,t),

Порядок ДУ – порядок старшей производной, входящей в состав уравнения.

Решением ДУ называется всякая функция y = f(x), которая, будучи подставленной в ДУ, превращает его в тождество.

y’ = f (x,y) – ДУ, разрешенное относительно производной.

Теорема о единственности решения: если в уравнении y’ = f (x,y) функция f (x,y) и ее частная производная непрерывны в некоторой области D на плоскости (0,x,y), содержащей некоторую точку то существует единственное решение этого уравнения y = Ф(x), удовлетворяющее условию:.

Геометрический смысл – существует график y = f(x), проходящий через точку;

– начальные условия.

Общим решением ДУ 1-го порядка называется функция, которая зависит от одной производной постоянной С и удволетворяет следующим условиям:

1) Функция является решением ДУ при любом значении С.

2) Каковы бы ни были начальные условия, можно найти такое, что, удовлетворяющие данному условию.

Бывает, что решение найдено в виде Ф(x, y, C) = 0 (т.е. не разрешено относительно (y)), такое решение называется общим интегралом ДУ.

Частным решением ДУ называется любая функция, которая получается из общего решения при определенном значении.

Решить ДУ значит:

1) Найти общее решение

2) Найти частное решение, которое удовлетворяет заданным н.у. (если они не заданы – то этот пункт пропускают)

Функция f (x, y) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных x и y, если при любом λ и справедливости, справедливо следующее:

ДУ первого порядка называется однородным относительно x и y, если f (x, y) – есть однородная функция нулевого измерения относительно x, y, то есть;

Линейное уравнение 1-го порядка – уравнение, линейное относительно неизвестной функции и ее производной

P(x) и Q(x) – заданные непрерывные функции или некоторые постоянные.

Теорема:

Вторые разности:

Аналогично разность производных:

Вторые разности производных:

Нахождение значения функции по принципу разложения в ряд Тейлора:

Полевая задача возникает при рассмотрении магнитной подсистемы в процессе моделирования электромагнитных преобразователей.

Существуют некоторые допущения: в большинстве случаев магнитное поле стационарное и ассиметричное. Это описывает ДУ второго порядка в частных производных.

Основное уравнение для описания магнитного поля (Пуассона)

А – вектор магнитного потенциала через оператор набла:

Существует 2 основных метода решения полевой задачи

Метод конечных разностей:

1 этап) на плоскости в области А, в которой ищутся решения, строится область

состоит из ячеек с одним размером и является приближенным отражением области А.

2 этап) Заданное ДУ в частных производных заменяется в узлах соответствующим конечно-разностным уравнением.

3 этап) С учетом граничных условий устанавливается значение искомого решения в граничных узлах области.

U – функция двух переменных.

От ДУ в частных производных переходят к линейному уравнению.

Для уравнения Пуассона используется разложение в ряд Тейлора в окрестности точки (x;y) вектора магнитного потенциала

Необходимое значение т.к. в узлах

Таблица конечных разностей (экстраполяция)

x	U=x³	D	D²	D³

*Трудоёмкий метод