2014-02-12
609
Пусть на плоскости в прямоугольных декартовых координатах задана прямая линия Ах+Ву+С = 0. По отношению к прямой вся плоскость распадается на две полуплоскости, для которых эта прямая является общей границей.
Докажем следующее утверждение: одна из полуплоскостей, определяемых прямой А х +В у +С = 0, состоит из точек 
, для которых
А х +В у +С ³ 0, (2.21)
а другая – из точек , для которых
А х +В у +С £ 0. (2.21 a)
□ Предположим сначала, что В¹0. Тогда уравнение А х +В у +С = 0 эквивалентно уравнению 
, или 
. Одно из неравенств (2.21), (2.21 a) приводится к виду 
, а другое неравенство – к виду 
. Первому неравенству отвечает полуплоскость, расположенная «над» прямой , второму – полуплоскость, расположенная «под» прямой (см. рис. 2.6). Итак, случай В¹0 рассмотрен. Если В=0, то обязательно А¹0 и тогда уравнение А х +В у +С=0 эквивалентно уравнению 
, одно из неравенств (2.21), (2.21 a) приводится к виду 
, а другое – к виду 
. Первому неравенству отвечает полуплоскость, расположенная «справа» от прямой , второму – полуплоскость, расположенная «слева» от прямой. ■
|
|
|
у (х; у 1) у 1 > у 0 = k x + b
(х; у 0)
(х; у 2) у 2 < у 0 = k x + b
0 х
Рис. 2.6
Пример. Выяснить, пересекает ли прямая 
отрезок АВ, где А(3;1), В(6;–1).
○ Подставим координаты точек А и В в левую часть уравнения прямой:
5×3 + 4×1 – 20 = –1 и 5×6 + 4×(–1) – 20 = 6.
Получены числа разных знаков. Следовательно, точки А и В лежат
по разные стороны от данной прямой, а, значит, прямая пересекает отрезок АВ. ●
