Пример 2.Найти расстояния от начала координат и от точки до плоскости

.

Возможны другие формы записи уравнения плоскости, связанные с различным представлением вектора нормали .

Если вектор задан своим модулем и направляющими косинусами,

то подстановка этих соотношений в равенство (*) дает

или

- нормальное уравнение плоскости,

где .

Параметр определяет проекцию вектора , проведённого из начала координат в любую точку плоскости на направление вектора нормали в этой точке, - расстояние от начала координат до плоскости.

Пусть точка, не лежащая в плоскости ; а - произвольная точка, лежащая в этой плоскости. Радиус-векторы этих точек - и .

Отклонение точки от плоскости есть разность проекций радиус- векторов и на направление нормали. Модуль отклонения равен расстоянию от точки до плоскости . Отклонение положительно, если точка и начало координат лежат по разные стороны от плоскости; в противоположном случае отрицательно. В координатной форме, с учетом , отклонение от плоскости определяется равенством

.

Для определения расстояния от плоскости до начала координат разделим левую часть уравнения плоскости на модуль вектора нормали

: ,

.

Искомое расстояние равно .

Подставляя координаты точки и точки , лежащей в плоскости, в формулу вычисления отклонения, находим

.

Знак минус означает, точка и начало координат лежат по одну сторону от плоскости.

Расстояние между параллельными плоскостями – расстояние от точки, лежащей на одной до другой плоскости.

Пример 3. Записать уравнения плоскостей и с нормальным вектором , отстоящих на расстоянии, равном двум от начала координат в направлении вектора , и в противоположном направлении.

Определим, предварительно, направляющие косинусы вектора

С учетом смысла параметра в нормальном уравнении плоскости искомые уравнения имеют вид

Пусть ,,- радиус-векторы фиксированных точек: , и , лежащих в плоскости , а - радиус-вектор произвольной ее точки . Тогда, из условия компланарности векторов , , , находим

или по правилу вычисления смешанного произведения векторов

Если в качестве точек ,и выбрать точки пересечения плоскости с осями координат(т.е. положить - ,и ), то

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

Воспользовавшись уравнением плоскости, проходящей через три точки, находим

или

.

Окончательно: .

Пример 5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

Поскольку точки и лежат на координатных осях при составлении уравнения плоскости удобно воспользоваться уравнением плоскости в отрезках. При этом и уравнение имеет вид

или .