2014-02-12
1144
Определение. Координатами точки М на плоскости в декартовой системе координат (О, e 1, e 2) называются координаты ее радиус-вектора 
в базисе e 1, e 2.
Таким образом, чтобы найти координаты точки М, нужно разложить вектор по базису e 1, e 2:
,
тогда числа х и у будут координатами точки М в выбранной системе координат. В силу рассмотренной выше теоремы о разложении вектора по базису такое разложение единственно; в выбранном базисе положение точки однозначно определяется парой чисел (х, у) – координатами точки. Координату х называют абсциссой точки М, координату у – ординатой точки М.
Определение. Координатами вектора a на плоскости в декартовой системе координат (О, e 1, e 2) называют координаты этого вектора в базисе e 1, e 2.
Другими словами, чтобы найти координаты вектора a, нужно разложить его по базису e 1, e 2:
a =
e 1+ 
e 2;
тогда коэффициенты и будут координатами вектора a в декартовой системе координат (О, e 1, e 2).
Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.
|
|
|
Определение. Декартова система координат (О, e 1, e 2) на плоскости называется прямоугольной, если e 1 и e 2 – взаимно перпендикулярные единичные векторы.
Базисные векторы e 1, e 2 прямоугольной декартовой системы координат на плоскости представляют собой ортонормированный базис евклидова пространства R2.
Две взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через О и параллельные соответственно векторам e 1 и e 2, называют осями координат. Первую из них обычно называют осью абсцисс и обозначают Ох, вторую – осью ординат и обозначают Оу. Единичные векторы оси Ох и оси Оу, равные базисным векторам e 1и e 2, соответственно, обычно обозначают 
. Декартову прямоугольную систему координат на плоскости будем обозначать Оху.
Определим операции над векторами, заданными координатами в декартовой прямоугольной системе координат, в соответствии с правилами, определенными для векторов векторного пространства.
Пусть даны точки 
и 
. Найдем координаты вектора 
. Имеем 
=
, 
=
, или =
, =
. Вычитая из второго равенства первое, получаем
=–=–()=
.
Таким образом, координаты вектора =(
).
Произведением вектора =() на число k будет вектор k=
.
Скалярное произведение двух векторов в декартовой прямоугольной системе координат можно определить по формуле (1.19) или по формуле (1.14). Формула (1.10) дает возможность вычислить угол между векторами.
Расстояние между точками А и В на плоскости можно интерпретировать как длину вектора , поэтому
АВ=
=
=
.
Пример. Даны точки А(1,–3) и В(–2,1). Вычислить угол, который вектор составляет с положительным направлением оси Оу.
○ Положительное направление оси Оу определяется единичным вектором этой оси 
. Найдем координаты и длину вектора 
:
|
|
|
=
; АВ==
.
Скалярное произведение векторов и 
найдем по формуле (1.19): (,)= –3×0+4×1=4. Теперь по формуле (1.10) находим угол между векторами и : 
; 
. ●
