Переход к новой аффинной системе координат

Деление отрезка в данном отношении

Аффинная система координат

I. Метод координат на плоскости

Определение 1. Аффинной системой координат или аффинным репером называется совокупность некоторой точки О и некоторого базиса (,). (аффинное = родственное, репер = метка).

Точка О называется началом координат, и - координатными векторами.

Если базис (,) – правый, то аффинная система координат называется правой, если базис левый, то – левой.

Определение 2. Осью называется прямая с выбранным на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком. Две оси, проходящие через начало координат и имеющие направления векторов и, называются соответственно осью абсцисс и осью ординат или координатными осями.

Четыре части, на которые они делят плоскость, называются координатными углами или квадрантами.

Обозначения: ось абсцисс –,;

ось ординат –,;

система координат -,.

II I III IV x y Правая система координат

IV I III II y x Левая система координат

Определение 3. Радиус-вектором точки М плоскости называется вектор. Его координаты x и y в базисе (,) называются координатами точки М в аффинной системе координат, при этом х называется абсциссой, у – ординатой.

Обозначение:,,.

По определению:.

x

y

Определение 4. Плоскость называется ориентированной, если на ней выбрана какого-либо вида аффинная система координат – правая или левая и, следовательно, определено направление отсчета углов (против или по часовой стрелке). Система координат выбранного вида называется положительно ориентированной, а выбранное направление отсчета углов – положительным.

Замечание. Будем считать плоскость положительно ориентированной, на ней выбрана правая система координат и, следовательно, положительным направлением отсчета углов – против часовой стрелки.

Определение. Пусть на прямой лежат направленный отрезок и произвольная точка М. Отношением, в котором эта точка делит данный отрезок, называется такое число λ, что:

(1)

Обозначение: λ=(AB,M)

А

M

B

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ:

1) λ>0, точка М лежит внутри отрезка АВ,.

λ=1, М – середина отрезка АВ.

2) λ=0, - точка М совпадает с началом А отрезка АВ.

3) λ<0, точка М лежит вне отрезка АВ,.

А

M

B

Замечание: λ -1, т. к. в этом случае или и и, то есть.

Теорема. Если точка M(x;y) делит в отношении λ -1 направленный отрезок с началом А(х₁;у₁) и концом В(х₂;у₂), то

,. (2)

Доказательство. - согласно определению. Перейдем к координатам:,.

Из условия равенства векторов и имеем:

Теорема доказана.

Следствие. Если М – середина направленного отрезка, то λ=1 и

(3)

Рассмотрим две аффинные системы координат. Одну из них обозначим и назовем старой, другую обозначим и назовем ее новой.

Теорема. Пусть 1) начало координат и координатные векторы новой системы имеют в старой системе координаты:,,; 2) произвольная точка М имеет в старой системе координаты x, y, а в новой системе координаты. Тогда имеют место формулы:

, где. (*)

Доказательство.

x

y

СТАРАЯ СИСТЕМА НОВАЯ СИСТЕМА

КООРДИНАТ КООРДИНАТ

По определению координат точек и векторов имеем для старой системы координат:

; (1)

(2)

. (3)

Для новой системы координат аналогично имеем:

. (4)

Подставим выражения и из (2) в (4):

. (5)

По правилу треугольника имеем:

. (6)

Подставим в это равенство выражения (3), (1) и (5):

+++++.

Приведем подобные члены:

+ = +.

Так как координаты вектора в данном базисе определены однозначно, то формулы (*) справедливы:

(*)

Теорема доказана.