Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат
Линейные операции над векторами в координатах
тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:
Определение. Скалярным произведением векторов и называется число, равное произведению длин этих сторон на косинус угла между ними.
×= ïïïïcosj
Свойства скалярного произведения:
1) ×= ïï2;
2) ×= 0, если ^или = 0 или = 0.
3) ×= ×;
4) ×(+) = ×+ ×;
5) (m)×= ×(m) = m(×); m=const
Если рассматривать векторы в декартовой прямоугольной системе координат, то
×= xa xb + ya yb + za zb;
Используя полученные равенства, получаем формулу для вычисления угла между векторами:
.
Пример. Найти (5+ 3)(2- ), если
10×- 5×+ 6×- 3×= 10,
т.к. .
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
Т.е. = (1, 2, 3), = (6, 4, -2)
×= 6 + 8 – 6 = 8:
.
cosj =
Пример. Найти скалярное произведение (3- 2)×(5- 6), если
15×- 18×- 10×+ 12×= 15
+ 12×36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Пример. Найти угол между векторами и , если
.
|
|
Т.е. = (3, 4, 5), = (4, 5, -3)
×= 12 + 20 - 15 =17:
.
cosj =
Пример. При каком m векторы и перпендикулярны.
= (m, 1, 0); = (3, -3, -4)
.
Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если
()() =
= 10 +
+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.