Переходные процессы при заряде и разряде конденсатора

Для переходного процесса зарядки конденсатора (переключатель П в положении включено), можно записать

Ri + u_C = U.

Схема для анализа переходных процессов при зарядке и разрядке конденсатора

Ток в цепи

i = d (Cu_C) /dt = Cdu_C/ d t

Подставляя выражение в предыдущую формулу, получим

RCdu_C/dt + u_C = U.

Тогда напряжение на конденсаторе

u_C = u_C ′ = u_C ″.

Свободное напряжение u_C″ находят, решая однородное дифференциальное уравнение

RCdu″_C/dt + u″_С = 0,

которому соответствует характеристическое уравнение RCp + 1 = 0, откуда, p = –1 / (RC).

Следовательно, свободное напряжение на конденсаторе

u_C″ = Ae^{p t} = Aе ^{– t/ ( RC)} = Ae ^{– t /τ},

где τ = RС.

Таким образом, напряжение на конденсаторе в переходном режиме

u_C = u′_C + Ae^{– t /τ},

а ток

i = i′ – (A/R) e^{‑ t /τ} ,

причем i′ = Cdu′_C/dt, i″ = Cdu″_C/dt = (A/R) e ^{– t /τ}

Постоянную интегрирования А находят с учетом второго закона коммутации из начальных условий работы цепи, которые различны для процессов заряда и разряда конденсатора.

Зарядка конденсатора. Напряжение в переходном режиме при зарядке конденсатора изменяется по закону

u_C = U (1 – e^{‑ t/τ})

Ток в цепи согласно (1.130) i′ = 0, а A = –U после чего получим

i = (U/R) e^{– t /τ}

На рисунке показано изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при зарядке конденсатора.

Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при зарядке конденсатора

Разрядка конденсатора. Если переключатель П включить в положение 2, то заряженный конденсатор начнет разряжаться на резистор R. Принимая u′_C = 0 и находя из начальных условий u_c (при t = 0, u_C = U_C), а постоянная интегрирования A = U_C получим, что напряжение на конденсаторе равно u_C = U_Ce^{‑ t/τ}, а ток с учетом, что i′ = 0,

i = - (U/R) е^{-t /τ}.

Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора приведены на рисунке.

Изменение напряжения на конденсаторе и тока в цепи при разрядке конденсатора