Уравнение прямой в пространстве

1 2

Пусть теперь две точки заданы в пространстве

и (7.30)

Тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки будет иметь вид:

. (37.1)

И в параметрической форме

(7.32)

Уравнения (32), как и ранее, можно представить в компактной форме

(7.33)

Рассмотрим задачу о пересечении плоскости отрезком прямой.

Условие задачи. В декартовой системе координат заданы плоскость , определяемая уравнением

(7.34)

и отрезок прямой , где точки и определяются по (30).

Определить: пересекает отрезок плоскость (рис. 3) или нет (рис. 4).

Рис. 7.4

Рис. 7.5

Для решения поставленной задачи определим значение параметра , при котором прямая (7.32) и плоскость (7.34) имеют общую точку.

Подставляя выражения для координат (7.32) в уравнение плоскости (7.34) и вводя обозначения , , , получим

(7.35)

Из (7.35) получаем

(7.36)

для .

Тогда если , то отрезок пересекает плоскость . В противном случае плоскость пересекает продолжение рассматриваемого отрезка.

Координаты точки пересечения определяются путем подстановки значения в (7.32)

, (7.37)

или в компактной форме

(7.38)

Рассмотрим случай, когда

(7.39)

Известно, что в уравнении плоскости коэффициенты , и являются координатами вектора , нормального к этой плоскости, т.е. . Рассмотрим вектор , построенный на отрезке . Тогда условие (7.39) означает что

(7.40)

Равенство нулю скалярного произведения (7.40) означает, что вектор перпендикулярен вектору нормали и, следовательно, параллелен плоскости . Если при этом также справедливо равенство , то вектор (отрезок ) лежит в плоскости .