Равномерная сетка

Эта модель описывает координаты отдельных точек поверхности следующим способом (рис. 11.3). Каждому узлу сетки с индексами приписывается значение высоты . Индексам отвечают определенные значения координат . Расстояние между узлами одинаковое – по оси и по оси .

Рис. 11.3

Фактически, такая модель – двумерный массив, растр, матрица, каждый элемент которой сохраняет значение высоты.

Не каждая поверхность может быть представлена этой моделью. Если в каждом узле записывается только одно значение высоты, то это означает, что поверхность описывается однозначной функцией . Иначе говоря, это такая поверхность, которую любая вертикаль пересекает только один раз. Не могут моделироваться также вертикальные грани. Необходимо заметить, что для сетки не обязательно использовать только декартовые координаты. Например, для того чтобы описать поверхность шара однозначной функцией, можно использовать полярные координаты. Равномерная сетка часто исполь­зуется для описания рельефа земной поверхности.

Рассмотрим, как можно вычислить значения высоты для любой точки внутри границ сетки. Пусть ее координаты равны . Надо найти соответствующее значение . Решением такой задачи является интерполяция значений координат ближайших узлов (рис. 11.4).

Рис. 11.4

Вычисляем индексы ближайшего узла

, (11.5)

, (11.6)

где – целая часть числа.

Используя линейную интерполяцию по оси вдоль прямой , вычислим значение в точке – . Для этой цели запишем уравнение прямой, проходящей через точки и

(11.7)

Или

(11.8)

Подставляя в (11.8) значение , получаем

(11.9)

Совершенно аналогично, используя линейную интерполяцию по оси вдоль прямой , вычислим значение в точке – .

(11.10)

Используя теперь линейную интерполяцию по оси вдоль прямой , вычислим значение в точке . Для этой цели запишем уравнение прямой, проходящей через точки и

(11.11)

Или

(11.12)

Подставляя в (11.12) значение , получаем

(11.13)

Отметим некоторые положительные черты и недостатки равномерной сетки.

Положительные черты равномерной сетки:

· простота описания поверхностей;

· возможность быстро узнать высоту любой точки поверхности простой ин­терполяцией.

Недостатки равномерной сетки:

· поверхности, которые соответствуют неоднозначной функции высоты в узлах сетки, не могут моделироваться;

· для описания сложных поверхностей необходимо большое количество узлов, которое может быть ограничено объемом памяти компьютера;

· описание отдельных типов поверхностей может быть сложнее, чем в дру­гих моделях. Например, многогранная поверхность требует избыточный объем данных для описания по сравнению с полигональной моделью.