Интерполяция функций

ПОСТРОЕНИЕ КРИВЫХ

Одним из важнейших применений компьютерной графики является визуализация научных данных. Визуализацию научных данных принято относить к той области компьютерной графики, которая получила название научная графика. Научная графика – это представление результатов научных расчетов или экспериментов в графической форме. Такая форма представления значительно упрощает анализ полученных результатов и позволяет взглянуть на них по-новому. Первые графики на машине получали в режиме символьной печати. Затем появились специальные устройства – графопостроители (плоттеры) для вычерчивания чертежей и графиков чернильным пером на бумаге. Современная научная компьютерная графика дает возможность проводить вычислительные эксперименты с наглядным представлением их результатов в виде кривых на плоскости и поверхностей в пространстве.

Данный раздел учебного пособия посвящен некоторым методам построения плоских кривых по дискретному набору данных – точек на плоскости, заданных своими координатами.

Интерполяция – в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений. Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

14.2 Постановказадачи интерполяции

Пусть задано множество несовпадающих точек , на плоскости.

Требуется найти такую функцию , принадлежащую заданному классу функций, что для всех точек выполняется условие .

Геометрически это означает, что нужно найти кривую , которая на плоскости проходит через заданную систему точек (рис. 1)

Рис. 14.1

Сформулированная задача называется задачей интерполяции. Функция называется интерполирующей функцией. Точки называются узлами интерполяции.

Разумеется, задача интерполяции может иметь решение (и при том не единственное) или не иметь его вовсе. Все зависит от заданного класса функций.

Множество точек можно рассматривать как набор дискретных значений некоторой неизвестной функции . В этом случае функцию называют интерполируемой функцией.

Полученную функцию обычно используют в случае приближенного вычисления значений функции для значений аргумента , отличных от узлов интерполяции. Процесс вычисления значений функции в точках, отличных от узлов интерполяции, называется интерполированием функции .

При этом различают интерполирование в узком смысле, если , и экстраполирование, когда .

Замена функции ее интерполирующей функцией может потребоваться не только тогда, когда известна лишь таблица ее значений (например, полученная в результате эксперимента), но и в том случае, когда аналитическое выражение для функции известно, однако является слишком сложным и неудобным для дальнейших математических преобразований (интегрирования, дифференцирования и т. д.).