Если в качестве базисной взять систему степенных функций, то есть , то получаем задачу полиномиальной интерполяции:
(2.3.1)
Теорема 2.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени , удовлетворяющий условиям (2.3.1).
Вкачестве искомогомногочлена возьмем многочлен степени вида
(2.3.2)
Таким образом, система функций, по которой строится интерполяционный многочлен, есть
Для нахождения надо
найти набор коэффициентов
. Не будем сос-
тавлять и решать систему
линейных уравнений вида
(2.2.1), найдем коэффициен-
... ты иным способом.
Пусть , с учетом получим
Аналогично, полагая и учитывая, что будем иметь
Если , то Тогда сам многочлен будет иметь вид
(2.3.3)
Этаформула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Приведем ее в сокращенной записи:
(2.3.4)
Очевидно, представляет собой многочлен степени , удовлетворяющий условию
Таким образом, степень многочлена равна , при в формуле (2.3.4) обращаются в нуль все слагаемые, кроме слагаемого с номером , равного .
|
|
Выпишем отдельно многочлены Лагранжа первой и второй степени, ибо именно они чаще всего используются на практике.
(2.3.5)
Пример. Написать интерполяционный многочлен Лагранжа для функции , значения которой заданы таблицей
0.1 | 0.3 | 0.5 | ||
-0.5 | 0.2 | 1.0 |
В данном случае , получаем при интерполяции кубическую параболу. Вычислим вначале :
, но его значение не понадобится, так как . Не будем его вычислять.
Тогда искомый интерполяционный многочлен Лагранжа третьей степени будет выглядеть так