Курс лекций
Игра - математическая модель игровой ситуации принятия решений, характеризуемая следующими особенностями:
1. наличие не менее двух участников, имеющих разные интересы - конфликтность;
2. наличие у каждого из участников нескольких вариантов поведения - стратегий (неопределенность);
3. результаты, получаемые игроками (платежи), зависят от стратегий, выбранных всеми участниками - взаимозависимость поведения;
4. наличие правил игры, определяющих возможные стратегии игроков, последовательность их действий, их информированность, получаемые результаты и т.д.
Игроки - стороны, участвующие в конфликтной ситуации (i). Обозначим множество всех игроков как I={1,2,…, N}.
Выигрыш (проигрыш) – исход конфликта.
Правила, вводимые для каждой формализованной игры, - система условий, определяющая:
1. варианты действий игроков;
2. объем информации каждого игрока о поведении партнеров;
3. выигрыш, к которому приводит каждая совокупность действий.
Как правило, выигрыш (или проигрыш) может быть задан количественно; например, можно оценить проигрыш нулем, выигрыш — единицей, а ничью — 1/2.
Ход игрока - выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий. Ход может быть:
· личным - сознательный выбор игроком одного из возможных действий (например, ход в шахматной игре);
· случайным - случайно выбранное действие (например, выбор карты из перетасованной колоды). В дальнейшем мы будем рассматривать только личные ходы игроков.
Стратегии (si) - последовательные или одновременные действия (решения) игроков. Для каждого игрока задается множество стратегий Si.
Стратегия игрока - совокупность правил, определяющих выбор его действия при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Обычно в процессе игры при каждом личном ходе игрок делает выбор в зависимости от конкретной ситуации. Однако в принципе, возможно, что все решения приняты игроком заранее (в ответ на любую сложившуюся ситуацию). Это означает, что игрок выбрал определенную стратегию, которая может быть задана в виде списка правил или программы. (Так можно осуществить игру с помощью ЭВМ).
Профиль стратегий sN={s1,s2,..,sN} - набор стратегий, выбранных каждым из игроков. Профиль стратегий определяют платежи игроков.
Платежная функция ui - некая результатная величина, существующая для каждого игрока. Каждый игрок выбирает свою стратегию si из Si. После того, как это сделают все, определяется платеж игрока ui (sN).
Множество чистых стратегий - множество Si.
Игра решается в чистых стратегиях, если игроки выбирают по одной стратегии из своих множеств стратегий, и выбирали бы эти же стратегии всякий раз при повторении игры.
Смешанная стратегия игрока - это комбинации чистых стратегий, выбираемых в определенном сочетании или с определенной вероятностью. Для некоторых игр смешанная стратегия может интерпретироваться как комбинация или распределение ресурсов, действий, инвестиций, закупок товаров и т.д.
Решить игру (найти решение игры) – для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т.е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда другие придерживаются своей стратегии.
В играх с двумя игроками стратегии, при которых один из игроков получает максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии, и в то же время второй игрок имеет минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии, называются оптимальными.
Замечание:
если игра повторяется достаточно много раз, то игроков может интересовать не выигрыш и проигрыш в каждой конкретной партии, а средний выигрыш (проигрыш) во всех партиях.
Целью теории игр является определение оптимальной стратегии для каждого игрока. При выборе оптимальной стратегии предполагается, что игроки ведут себя разумно с точки зрения своих интересов.
Замечания:
особенностями применения теории игр для решения экономических задач является то, что
· в большинстве реальных экономических задач имеется более одного показателя эффективности, а важнейшим ограничением теории игр является единственность выигрыша как показателя эффективности,
· в экономике, как правило, возникают задачи, в которых интересы партнеров не обязательно антагонистические.
К базовым принципам теории игр относятся:
· принцип рациональности - игроки принимают решения, основываясь на некоторых разумных основаниях и руководствуясь общими критериями;
· принцип общего знания - все игроки знают правила игры; все игроки знают, что все знают правила игры; все знают, что все знают, что все знают правила игры и т.д;
· принцип исключения доминируемых стратегий - стратегия s1 доминирует над s2, если платеж, полученный игроком при стратегии s1 больше платежа при стратегии s2.
Игра называется разрешимой по доминированию, если к решению можно прийти через исключение доминируемых стратегий.
Равновесием в доминирующих стратегия называется решение игры, которое оказывается единственно возможным после последующего исключения всех доминируемых стратегий всех игроков.