Способы задания плоскости
Положение плоскости в пространстве можно определить:
1. тремя точками, не лежащими на одной прямой;
2. прямой и точкой вне ее;
3. двумя пересекающимися или параллельными прямыми;
4. точкой и вектором, перпендикулярным плоскости;
5. многоугольником.
Задание плоскости a точкой A и вектором , перпендикулярным плоскости a содержит наименьшую, но достаточную информацию о положении плоскости – всего 6 чисел: координаты точки A и вектора .
Векторное уравнение плоскости можно получить в виде скалярного произведения , где – радиус-вектор произвольной точки M плоскости a, а – вектор, принадлежащий плоскости a и ортогональный вектору . Выразив множители скалярного произведения через их компоненты, получим:
Это линейное относительно координат x, y, z уравнение можно преобразовать в виду
(1)
Если плоскость задана тремя точками (xA, yA, zA), (xB, yB, zB), (xC, yC, zC), то уравнение плоскости можно получить, подставляя эти точки в уравнение (1).
нормализуя относительно d, получим
или
или , откуда
.
Поскольку объем вычислений во многих алгоритмах машинной графики растет с увеличением числа многоугольников, то для описания плоскостей выгодно использовать многоугольники с больше чем тремя сторонами. Эти многоугольники могут быть как невыпуклыми, так и неплоскими. Рассмотрим метод, позволяющий найти как точное решение для уравнений плоскостей, содержащих плоские многоугольники, так и наилучшее приближение для неплоских многоугольников. Этот метод эквивалентен определению нормали в каждой вершине многоугольника посредством векторного произведения прилежащих ребер и усреднения результатов:
Где если i=n, то j=1, иначе j=i+1, а d вычисляется с помощью любой точки на плоскости d = –(axi+byi+czi). Для получения лучших результатов для неплоских многоугольников можно вычислить усредненное значение d по всем точкам.