Градиент. Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q1, q2, q3, задано дифференцируемое скалярное поле u(M)

Пусть в некоторой области пространства, в которой введены криволинейные координаты q ₁, q ₂, q ₃, задано дифференцируемое скалярное поле u(M). Найдем выражение градиента в ортогональных криволинейных координатах. Проекция градиента функции u=u(q ₁, q ₂, q ₃) на некоторое направление, совпадает, как известно, с производной от u по этому направлению. Следовательно, для того чтобы вычислить компоненты gradu в базисе { e ₁, e ₂, e ₃} нужно вычислить производные от U по направлениям, определяемым этими векторами. Пусть DU – разность значений функции U в точках M ₁ и M. Тогда

.

Аналогично находим две другие компоненты градиента:

, .

Таким образом, окончательно получаем

. (9.10)