Понятие дивергенции как локального свойства векторного поля было введено при рассмотрении потока векторного поля на замкнутой поверхности. Аналогично можно ввести соответствующую характеристику при рассмотрении циркуляции векторного поля.
Рассмотрим некоторую точку M и векторное поле a. Выберем некоторое направление, характеризуемое единичным вектором n и плоскость, перпендикулярную к вектору n и проходящую через точку M. Окружим точку M контуром L, лежащим в заданной плоскости. Вычислим циркуляцию векторного поля по этому контуру и возьмем отношение этой циркуляции к площади S, ограниченной контуром L:
Найдем теперь предел этого отношения при S ®0, при условии, что контур L стягивается в точку M, не выходя из плоскости. Этот предел называется ротором векторного поля a в точке M:
. (7.6)
Замечание 3. Ротор есть характеристика "вращательной составляющей" векторного поля, поэтому его обозначают как rot. Однако иногда вместо слова ротор используют термин " вихрь " и обозначают символом curl.
Выведем теперь формулу для ротора в декартовой системе координат. Пусть n совпадает с направлением оси Oz, а контуром L является прямоугольник со сторонами D x и D y, при этом контур обходится против часовой стрелки (см. рис. 7.3). Тогда получим
.
Для первого слагаемого получаем
(отрезки DA и BC можно не учитывать, поскольку здесь x=const и dx =0). Далее
.
Аналогично получаем для второго слагаемого
.
В результате, находим
.
Аналогично вычисляем проекции на другие оси координат:
, .
В векторной форме это можно следующим образом:
. (7.7)
Эту формулу можно записать более компактно в символической форме:
. (7.8)
Формула (7.7) получается из (7.8) путем разложения определителя по первой строке.
Пример 7.4. Вычислить ротор векторного поля a = x 2 y 3 i + j + z k в точке M(1;1;1).
Решение. Записываем
.
Таким образом,
.
Пример 7.5. Найти ротор поля скоростей вращающего тела v =–w y i +w x j.
Решение. Поскольку v x =–w y, v y =w x, v z =0, то
.
Итак, ротор скоростей твердого тела в любой его точке равен удвоенной угловой скорости. Найденный механический смысл ротора имеет более широкое значение. Например, колесо с лопастями в потоке жидкости будет иметь максимальную скорость вращения, если ось вращения будет направлена вдоль rot a, при этом скорость вращения будет равна .