Дальнейшие свойства непрерывных функций

Рассмотрим множество T ÌR^m и отображение j(t) из T в Rⁿ. Таким образом, для каждой точки t из T однозначно сопоставлена точка x из Rⁿ. Это записывается в виде x= j(t). Задание такого отображения равносильно заданию n функций, определенных на T, или в развернутом виде

Отображение x= j(t) (его также можно называть функцией) называется непрерывным (например, в точке t ⁰), если в этой точке непрерывны все «координаты» этой функции. Так же, как и ранее, можно выписать неравенства, связывающие координаты с расстоянием

Эти неравенства позволяют дать эквивалентное определение непрерывности в терминах метрики евклидова пространства.

Функция x= j(t) называется непрерывной в точке t ⁰, если

"e > 0 $d>0: r(t, t ⁰)<d Þ r(j(t), j(t ⁰)) < e.

Определение сложной функции или суперпозиции. Пусть задано отображение x= j(t) из TÌ R^m в множество X пространства Rⁿ и отображение u = f (x) из X в R.

u = f (x), xÎXÌRⁿ, x = j(t), tÎTÌR^m.

В результате последовательного выполнения этих двух отображений получим сложное отображение или функцию:u = f (j(t)), действующую из T в R.

Теорема (о непрерывности сложной функции). Пусть u = f (x) определена в некоторой a окрестности U_a (x ⁰) точки x ⁰ и непрерывна в этой точке, функция j(t) определена в некоторой окрестности U (t ⁰), непрерывна в t ⁰, причем x ⁰ = j(t ⁰). Тогда в некоторой окрестности t ⁰ существует сложная функция f (j(t)), непрерывная в точке t ⁰.

Доказательство. Как уже ранее отмечалось, непрерывность функции j(t)в точке t ⁰означает, что

"e > 0 $d>0: r(t, t ⁰)<d Þ r(j(t), j(t ⁰)) < e.

Вначале докажем существование суперпозиции в некоторой окрестности точки t ⁰. Пусть f (x) определена в U_a (x ⁰), тогда для числа a $h>0: r(t, t ⁰)< h Þ r(j(t), j(t ⁰)) < a. Следовательно, в окрестности U _h(t ⁰) будет определена суперпозиция f (j(t)).Докажем ее непрерывность. Пусть e> 0для этого e

$d>0: r(x, x ⁰)< d Þ |f (x) – f (x ⁰) | < e.

В свою очередь, для dбудет $ >0: r(t, t ⁰) <Þ r(j(t), j(t ⁰)) < d.

В итоге: r(t, t ⁰)< Þ |f (j(t)) – f (j(t ⁰))|< e,ч.т.д.

Следствие. Пусть f (x) непрерывна на открытом множестве D Ì Rⁿ и задана непрерывная кривая g: x =j(t), t Î[a,b], лежащая в D. Тогда сложная функция F (t) = f (j(t))непрерывна на отрезке [a,b].

Замечание. Если для функции многих переменных зафиксировать все переменные кроме одного, то мы получим функцию одного переменного

F (x_k)= f (.

В этом случае можно говорить о непрерывности по одному переменному. Легко показать, что если функция непрерывна, то она будет непрерывной по каждому из переменных. Обратное утверждение не верно.

Определение. Множество D Ì Rⁿ называется связным, если любые его две точки можно соединить непрерывной кривой, целиком лежащей в D.

Теорема (о промежуточных значениях непрерывной функции на связном множестве). Пусть D открытое, связное множество и f (x) непрерывна на D, f (a) =A, f (b) =B, a,b Î D. Тогда для любого C Î[ A,B ] существует c Î D такая, что f (c) =C (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Доказательство. По определению связного множества существует непрерывная кривая, лежащая в D, обозначим ее x = j(t), t Î[a,b],такая, что j(a)= a, j(b)= b. По ранее доказанной теореме, суперпозиция F (t) = f (j(t))представляет собой непрерывную на [a,b]функцию одного переменного. По теореме о промежуточных значениях непрерывной функции существует xÎ[a,b]: F (x)= C. Таким образом, точка c= j(x)будет искомой.

Терема 1 (Вейерштрасс). Непрерывная на компакте функция ограничена на этом компакте.

Доказательство. Предположим, что функция не ограничена на D. Тогда

" k $ x^k Î D:|f(x^k)|>k (4.4).

Последовательность { x^k } – ограничена, так как D компакт, поэтому из неепо теореме Больцано-Вейерштрассаможно выбрать сходящуюся подпоследовательность {}® x ⁰. Множество D замкнуто, поэтому точка x ⁰Î D. Из непрерывности функции следует, что f () ® f (x ⁰), с другой стороны, согласно (4.4), будет выполнено (|f () |>k_m) и f () ® ¥. Полученное противоречие доказывает теорему.

Терема 2 (Вейерштрасс). Непрерывная на компакте функция достигает своих точных граней.

Доказательство. Докажем для верхней грани. Из определения M= sup f (x) для

(4.5)

Последовательность { x^k } – ограничена, так как D компакт, поэтому из неепо теореме Больцано-Вейерштрассаможно выделить сходящуюся подпоследовательность {} ® x ⁰. Из замкнутости D следует, что точка x ⁰Î D. Из непрерывности функции следует, что f () ® f (x ⁰). Согласно (4.5) будет выполнено неравенство, поэтому f () ® M и, таким образом, f (x ⁰) = M ч.т.д..

4.3.4. Равномерная непрерывность функции многих переменных. Терема Кантора

Определение. Функция f (x) называется равномерно непрерывной на множестве D, если выполнено условие Коши:

" e > 0 $ d > 0 " x ¢, x ¢¢Î D, r(x ¢, x ¢¢) < d: |f (x ¢¢) – f (x ¢) | < e.

Замечание. Если функция равномерно непрерывна на множестве D, то она непрерывна на этом множестве.

Теорема (Кантор). Непрерывная на компакте D функция равномерно непрерывна на D.

Доказательство. От противного.

$ e₀ > 0 " d > 0 $ x,yÎ D, r(x,y) < d: |f (x) – f (y) | ³ e₀ .

В качестве dбудем брать последовательность 1/ k. В результате получим две последовательности { x^k }, { y^k } таких, что r(x^k, y^k) < 1/ k: | f (x^k) – f (y^k)| ³ e₀. Последовательность { x^k } – ограничена, так как D компакт, поэтому из неепо теореме Больцано-Вейерштрассаможно выбрать сходящуюся подпоследовательность {} ® x ⁰. Из условия r(,) < 1/ k_m следует, что последовательность {} ® x ⁰. Действительно, r(x ⁰,)£ r(x ⁰,) + r(,)(неравенство треугольника). Из непрерывности функции следует, что f () ® f (x ⁰), f () ® f (y ⁰), откуда следует | f () - f () | ® 0, что противоречит неравенству |f () – f () | ³ e₀.