Геометрический смысл дифференциала

21 22 23 24 25 26 27

df = A (x – x ⁰) + B (y – y ⁰)

есть приращение аппликаты на касательной плоскости, (рис. 5.3)

Рис. 5.3

Или в плоскости сечения плоскостью

Рис. 5.4

На рис. 5.4 выбрано другое расположение точек, чем на рис. 5.3.

5.2.3. Различные способы задания поверхностей

Поверхность – это отображение вида j: R ² ® R ³.

a) Явное задание

z = f (x,y), (x,y) Î D.

b) Параметрическое задание

, w = j(t), wÎR ³, t Î R ².

Пусть все три функции, определяющие эту поверхность (отображение j),непрерывно дифференцируемы, то есть принадлежат классу C ¹. Матрица Якоби отображения jопределяется, как матрица типа 3х2, составленная из частных производных отображения

, (u,v)Î D.

Обозначим ее миноры второго порядка F₂₃, F₃₁, F₁₂.

,,.

Можно показать, что в этом случае в точке M ⁰(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰)где x ⁰ = x (P ⁰), y ⁰ = y (P ⁰), z ⁰ = z (P ⁰), существует касательная плоскость к поверхности, имеющая нормалью вектор

N. Этот вектор нормали можно находить из символического вектрного произведения

Таким образом, уравнение касательной плоскости имеет вид

F₂₃(P ⁰)(x – x ⁰) + F₃₁(P ⁰) (y – y ⁰) + F₁₂(P ⁰) (z – z ⁰) = 0

Или

Частные производные в определителе слева вычисляются в точке P ⁰=(x ⁰, y ⁰).

c) Неявное задание поверхности

F (x,y,z) = 0.

Уравнение касательной плоскости в точке M ⁰(x ⁰ ,y ⁰ ,z ⁰)имеет вид (это будет доказано в разделе «Теория неявных функций»)

5.5.

5.2.4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Старшие производные

Пусть f (x,y)определена на D, если существует частная производная в некоторой окрестности точки M ⁰, то можно говорить о производной от этой функции

Аналогично определяются производные. Те частные производные, где дифференцирование происходит по разным переменным, называются смешанными. Точно также определяются частные производные второго порядка в общем случае

Производная n –го порядка определяется, как производная от производной (n– 1)-го порядка. Выбор переменных, по которым производится дифференцирование и порядок этого дифференцирования определяется порядком записи переменных в знаменателе при обозначении производной n – го порядка. Порядок дифференцирования читается справа налево. Например,

Теорема (о независимости частных производных от порядка дифференцирования).

Если функция u = f (x,y) имеет в окрестности точки M ⁰(x ⁰ ,y ⁰) смешанные производные и, непрерывные в самой точке M⁰, то в этой точке смешанные производные будут равны

Доказательство. Рассмотрим выражение

W = (5.1)

Это же выражение можно записать в виде

W = (5.2)

Положим j(x) = f (x, y) – f (x, y ⁰). Из (5.1) получим

W = = = (5.3)

Теперь положим y(y) = f (x, y) – f (x ⁰, y). Из (5.2) получим

W = = = (5.4).

Требуемое равенство получится, если перейти к пределу в (5.3), (5.4) при.

Замечание. Утверждение теоремы справедливо для смешанных производных любого порядка по любым переменным, лишь бы число дифференцирований по каждой переменной в обоих случаях было одно и тоже.