Достаточные условия

Необходимые условия

Рассмотрим функцию

u = f (x ₁ ,x ₂ ,….,x_n,x_{n+ 1} ,…,x_n+m), или кратко u = f (x)(6.12)

определенную в области DÌR^n+m. Обозначим через D ₁множество точек из D, удовлетворяющих n условиям

, Ф(x)=0. (6.13)

Условия (6.13)назовем уравнениями связи.

Определение. Точка x ⁰ = () называется точкой условного максимума функции (6.12) при связях (6.13), если существует окрестность этой точки U (x ⁰) такая, что

" x Î U (x ⁰)Ç D ₁: f (x) < f (x ⁰).

Аналогично определяется условный минимум и условный экстремум.

Введем обозначения p = (x ₁ ,x ₂ ,…,x_n), q = (x_{n+ 1} ,x_{n+ 2} ,…,x_n+m), x= (p,q)=(x ₁ ,x ₂ ,…,x_n+m), p ⁰ = (), q ⁰=, x ⁰=(,p ⁰ , q ⁰)=(). Будем предпологать, что ФÎ C ¹(U (x ⁰))и

, в точке x ⁰.

Можно считать, что якобиан отличен от нуля в U (x ⁰ ). В этом случае в каждой точке этой окрестностивыполнены условия теоремы существования и единственности системы функций, заданных неявно системой уравнений (6.13)и эту систему можно разрешить относительно p в окрестности точки q⁰=

(6.14)

Таким образом, любая точка из области U (x ⁰)Ç D ₁может быть записана в виде

(j₁(q),j₂(q),…,j _n (q) ,q).

Тогда необходимым и достаточным условием для условного экстремума в точке x ⁰будет «безусловный» экстремумом функции

F (q) = f (j₁(q),j₂(q),…,j _n (q), q)в точке q ⁰.

В силу этого необходимыми условиями условного экстремума будет условия

j=n+ 1 ,n+ 2 ,…,n+m.

В частности,

(6.15)

Продифференцируем тождества (6.13)

(6.16 _k)

Умножим каждое уравнение (6.16 _k)на l_k сложим их c уравнением (6.15).В результате получим

(6.17)

Выберем l _i так, чтобы множители при зависимых дифференциалах dx_j (т.е. при j= 1,2,…, n)обращались в 0

, j= 1,2, …,n. (6.18)

Это можно сделать в силу того, что. Тогда из (6.17)получим

. (6.19)

Так как dx_j, j=n+ 1 ,…,n+m – дифференциалы независимых переменных, то из (6.19)следует, что все множители при этих дифференциалах равны нулю

, j=n+ 1 ,n+ 2 ,…,n+m. (6.20)

Таким образом, как это следует из (6.18), (6.20)для всех j будут выполнены равенства

, j= 1,2 ,…,n+m. (6.21)

Поводя итог, можно сказать, что точка условного экстремума x ⁰должна удовлетворять системам уравнений (6.13), (6.21)

,

, j= 1,2,…, n+m,

которые дают m+ 2 n уравнений для определения m+ 2 n неизвестных. Этими неизвестными являются: n+m координат точки x ⁰и n неопределенных множителей l _j. Эти множители называются множителями Лагранжа. Доказанное утверждение сформулируем в виде теоремы

Теорема (необходимые условия для условного экстремума). Пусть функция

u = f (x ₁ ,…,x_n+m)

определена в области DÌR^n+m, x ⁰ внутренняя точка D и заданы n непрерывно дифференцируемые связи

,

причем

¹0, в точке x ⁰.

Тогда в точке x ⁰ выполнены условия

, j=1,…,n+m. (6.22)

Замечание. При составлении уравнений (6.22) для поиска точек «подозрительных» на условный экстремум удобно использовать функцию Лагранжа

L = f +,

условия (6.22) тогда запишутся в виде

(или dL =0).

Пусть в точке x ⁰ = выполнены необходимые условия экстремума. Вопрос о наличии экстремума в этой точке зависит от поведения D f=f (x) – f (x ⁰)при условии, что x Î D ₁(область, определяемая уравнениями связи). Для таких точек DF _i = 0, поэтому D f = D L, и исследование поведения D f сводится к исследованию поведения приращения функции Лагранжа D L. По формуле Тейлора

D L =, e _ij® 0 при D x_i® 0.

Если выразить приращения D x_i (i= 1 ,….n) зависимых переменныхчерез приращения D x_k (k=n+ 1 ,….n+m)независимых переменных (это можно сделать, продифференцировав уравнения связи), то можно получить выражение для D L следующего вида

D L =, h _ij® 0 при D x_i® 0.

После этого можно использовать достаточные условия, выведенные для «безусловных» экстремумов по квадратичной форме.

Пример 1. Частный случай

, L=f+ lF, dL= 0(необходимое условие)

, D L= d ²L+ er²,

0 =d F =, dy=– dx, после подстановки получим

D L = B D x ² +o (D x ²). В зависимости от полученного коэффициента B можно сделать вывод о наличии условного экстремума.