Вычисление производных неявных функций, заданных системой уравнений

Неявные функции, заданные системой уравнений

Дана система уравнений

или кратко F (x,y) = 0. (6.7)

Определение. Система (6.7) определяет неявно заданную функцию y=f (x) на DÌRⁿ

,

если " xÎD: F (x, f (x)) = 0.

Теорема (существование и единственность отображения, неявно заданного системой уравнений). Пусть

1) F_i (x,y) из (6.4) определены и имеют непрерывные частные производные первого порядка, (i= 1 ,…,p, k= 1 ,…,n, j= 1 ,…,p) в окрестности U (M ⁰) точки M ⁰(x ⁰ ,y ⁰), x ⁰ =, y ⁰ =

2) F (M ⁰)=0,

3) det.

Тогда в некоторой окрестности U (x ⁰) существует единственная функция (отображение), определенная в этой окрестности y = f (x), такая, что

" xÎ U (x ⁰): F (x, f (x))=0 и y ⁰ = f (x ⁰).

Эта функция непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности точки x ⁰.

Дана система

(6.8)

Будем предполагать, что выполнены условия теоремы существования и единственности неявной функции, заданной этой системой уравнений. Обозначим эту функцию y=f (x). Тогда в некоторой окрестности точки x ⁰ справедливы тождества

Дифференцируя эти тождества по x_j получим

= 0.(6.9)

Эти равенства можно записать в матричном виде

,

или в развернутом виде

.

Отметим, что переход от равенства F (x, f (x))=0к, соответствует правилам дифференцирования для случая, когда x и y являются точками одномерного пространства. Матрица по условию не вырождена, поэтому матричное уравнение имеет решение. Таким образом, можно найти частные производные первого порядка неявных функций. Для нахождения дифференциалов обозначим

dy =, dx =, дифференцируя равенства (6.8),получим

=0,

или в матричном виде

. (6.10)

В развернутом виде

.

Так же как и в случае частных производных, формула (6.10) имеем такой же вид, как и для случая одномерных пространств n= 1, p= 1. Решение этого матричного уравнения запишется в виде. Для нахождения частных производных второго порядка нужно будет дифференцировать тождества (6.9)(для вычисления дифференциалов второго порядка дифференцировать нужно тождества (6.10)). Таким образом, получим

или

,

где через A обозначены слагаемые, не содержащие искомые.

Матрицей коэффициентов этой системы для определения производных служит матрица Якоби.

Аналогичную формулу можно получить для дифференциалов. В каждом из этих случаев будет получаться матричное уравнение с той же матрицей коэффициентов в системе уравнений для определения искомых производных или дифференциалов. То же самое будет происходить и при следующих дифференцированиях.

Пример 1. Найти,, в точке u= 1 ,v= 1.

Решение. Дифференцируем заданные равенства

(6.11)

Отметим, что из условия задачи следует, что независимыми переменными мы должны считать x, y. Тогда функциями будут z, u, v. Таким образом, систему (6.11)следует решать относительно неизвестных du, dv, dz. В матричном виде это выглядит следующим образом

.

Решим эту систему, используя правило Крамера. Определитель матрицы коэффициентов

, Третий «замещенный» определитель для dz будет равен (его вычисляем разложением по последнему столбцу)

, тогда

dz =, и,.

Дифференцируем (6.11)еще раз (x, y – независимые переменные)

или

Матрица коэффициентов системы та же самая, третий определитель

Решая эту систему, получим выражение для d²z откуда можно будет найти нужную производную.

6.3. Дифференцируемые отображения

Производные отображения. Регулярные отображения. Необходимые и достаточные условия функциональной зависимости.