Планы эксперимента для нелинейных моделей поверхности отклика

Линейные модели поверхности отклика имеют ограниченное приме­нение при исследовании сложных систем. В частности, они использу­ются для поиска области значений управляемых переменных х, обеспе­чивающих оптимальное (близкое к нему) значение функции отклика (выходной переменной у),так называемой почти стационарной области. Однако возможность детального анализа поверхности отклика в этой области и поиска оптимального решения с помощью линейной модели ограничена, так как в ней коэффициенты линейной регрессии стано­вятся незначимыми, а модель - неадекватной. Поэтому для более под­робных исследований на практике используется описание поверхности отклика полиномами 2-го и 3-го порядков, позволяющими учесть кри­визну поверхности. В литературе [1.2] рассматриваются планы для моделей как второго, так и более высокого порядка. В данном посо­бии ограничимся рассмотрением вопросов планирования эксперимента только для моделей второго порядка.

Пусть для описания поверхности отклика используется полином 2-го порядка вида:

. (7.1)

Общее число коэффициентов в модели:

(7.2)

Для оценки коэффициентов полинома порядка d необходимо иметь такую систему планирования экспериментов, в которой каждая незави­симая переменная x_i принимала бы не меньше чем (d+1) различных значений (уровней). Так, для полинома 2-го порядка - не меньше чем на трех уровнях. Очевидно, что планы полного факторного эксперимента типа 3^k неприемлемы из-за большого числа опытов. Поэтому при проведении экспериментов обычно применяют композиционные планы, поз­воляющие использовать результаты наблюдений, проводимых при пост­роении линейной модели (к нелинейным моделям переходят, как прави­ло, тогда, когда линейная модель оказывается неадекватной).

В качестве такого плана Боксом был предложен центральный ком­позиционный план (ЦКП), который может быть получен путем добавле­ния некоторого числа точек к "ядру", образованному планом для ли­нейной модели.

В качестве такого "ядра" используется полный или дробный фак­торный план вида 2^К или 2^k-m. К нему добавляется точка в центре плана (с координатами х⁰=0) и 2К "звездных" точек с координатами (±,о...0)... (0...0.±). (рис.7.1).

Рис. 7.1.

В отличие от планов для моделей 1-го порядка построить планы 2-го порядка, удовлетворяющие сразу нескольким критериям оптималь­ности, невозможно. Однако, варьируя величину а и число точек п0 в центре плана, можно получить центральные композиционные планы, об­ладающие различными свойствами.