2014-02-13
777
Рассмотрим потенциал простого слоя непрерывной плотности 
заданной на поверхности Ляпунова 
:
. (3)
Во всех точках 
пространства, не принадлежащих поверхности , потенциал простого слоя имеет производные любого порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа. Совершенно так же как в §3, можно показать, что потенциал простого слоя стремится к нулю на бесконечности, как 
, где 
.
Можно доказать, что потенциал простого слоя с непрерывной плотностью есть функция, непрерывная во всем пространстве.
Рассмотрим нормальную производную потенциала простого слоя. Выберем произвольную точку 
на поверхности и обозначим через 
направление внешней нормали в этой точке. Производная по направлению в точке 
не лежащей на поверхности, будет
. (4)
Оказывается, что интеграл (4) сохраняет смысл также в том случае, если точка совпадет с точкой на поверхности, и является непрерывной функцией точки на этой поверхности.
Обозначим через
и 
соответственно предельные значения нормальной производной при приближении точки к точке по нормали изнутри и извне . Имеет место предложение:
Теорема 3. При непрерывной функции 
справедливы формулы:
,
(5)
.
Из формулы (5) непосредственно следует, что величина скачка нормальной производной потенциала простого слоя равна
.
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным
уравнениям.
