2014-02-13
9300
Линейно-независимые векторы образуют базис для какого-либо множества векторов, если любой вектор из этого множества может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации этих векторов.
Поскольку любой вектор на плоскости может быть разложен по двум неколлинеарным векторам, а любой вектор в пространстве – по трем некомпланарным векторам, то любые два неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые три некомпланарных вектора – базис в пространстве.
Пусть какая-нибудь тройка векторов e 1, e 2, e 3 образует базис в пространстве. Тогда любой вектор пространства можно разложить и притом единственным образом по этому базису:
a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3.
Числа a 1, a 2, a 3 называются координатами вектора a в базисе векторов e 1, e 2, e 3 и будем обозначать
a = { a 1, a 2, a 3}.
Значение координат состоит в том, что операции над векторами сводится к действиям над числами. Пусть векторы a и b заданы своими координатами в одном и том же базисе:
a = { a 1, a 2, a 3} и b = { b 1, b 2, b 3}.
Тогда при сложении векторов будут складываться их соответствующие координаты, при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число:
Пример 7.1. В параллелограмме ABCD сторона BC разделена точкой K так, что 3| BK |=5| KC |, а сторона CD – точкой M так, что | CM |=4| MD | (см. рис.7.1). Разложить вектор 
по векторам 
и 
, или, по-другому, найти координаты вектора в базисе векторов a и b.
Решение. По правилу сложения векторов можно написать
Поскольку
, 
,
то
â
Пример 7.2. Даны три некомпланарных вектора a = {3;–2;1}, b = {–1;1;–2},
c = {2;1;–3}. Найти разложение вектора d = {11;–6;5} по базису a, b, c.
Решение. Разложение имеет вид
d = a a + b b + g c.
Тогда
11 e 1–6 e 2+5 e 3 = a(3 e 1–2 e 2+ e 3) + b(– e 1+ e 2–2 e 3) + g(2 e 1+ e 2–3 e 3)
или
(11–3a–b+2g) e 1 + (–6+2a–b+2g) e 2 + (5–a+2b+3g) e 3 = 0,
где e 1, e 2, e 3 – какой-то фиксированный базис. Поскольку этот базис состоит из линейно независимых векторов, то коэффициенты при этих векторах должны равняться нулю. Отсюда получаем систему линейных уравнений
Таким образом, искомое разложение имеет вид
d = 2 a – 3 b + c. â
Признак коллинеарности векторов в координатной форме примет следующий вид: два вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их соответствующие координаты:
(7.4)
Пример 7.3. Коллинеарны ли векторы c 1 = 2 a + b и c 2 = a –2 b, если a= {2;–2;4} и
b= {–3;3;–6}.
Решение. Найдем координаты векторов c 1 и с 2:
с 1 = 2{2;–2;4} + {–3;3;–6} = {1;–1;2},
с 2 = {2;–2;4} – 2{–3;3;–6} = {8;–8;16}.
Из условия пропорциональности
заключаем, что векторы c 1 и c 2 коллинеарны, причем 
. â
