2014-02-13
720
Пример 7.3
Расширением РС-кода (3,2) с g (x)= x +α и D =2 является РС-код (4,2) с D =3, порождающий многочлен которого равен g (x)=(x +1)(x +α)= x 2+α2 x +α, а порождающая матрица имеет вид
.
РС-коды, как и всякие групповые коды, можно укорачивать за счет сокращения числа информационных элементов. Очевидно, что при этом кодовое расстояние укороченного кода остается в точности тем же, что у исходного кода D = N – K+ 1. В общем случае укороченный РС-код в отличие от исходного не является циклическим.
Существует также способ построения циклического РС-кода над полем GF (q) с длиной кодовой комбинации N < q –1. Рассмотрим, как определяется порождающий многочлен для такого РС-кода. Если α–примитивный элемент GF (q), то его порядок l = q –1 и каждый ненулевой элемент GF (q) может быть найден, как некоторая степень α. Порядок ls каждого элемента α s Î GF (q) является делителем q –1, так как для каждого α s Î GF (q) справедливо равенство:
(αs) q –1=1.
Пусть в поле GF (q) существует элемент α s, порядок которого 1< ls < q –1. Тогда совокупность элементов 1, α s, α2 s, …, 
образует подгруппу, которая состоит из всех степеней одного из ее элементов, т.е. является циклической и совместно с нулевым элементом образует подполе поля GF (q), т.е. является корнями многочлена 
.
|
|
|
Значит справедливо
.>
Таким образом, если в GF (q) существует элемент α s, порядок которого 1<ls<-1, то возможно построение циклического РС-кода над GF (q) с длиной кодовой комбинации N = ls и порождающим многочленом
.
Пример 7.4
В поле GF (28) существует элемент α15, порядок которого равен l 15=17, следовательно, возможен РС-код над GF (28) с N =17.
Другой способ получения укороченных РС-кодов состоит в следующем. В выражении
произведем подстановку x ® xm. Тогда получим
.
Можно доказать, что многочлен xm –α is принадлежит показателю mls, из чего вытекает, что с помощью порождающего многочлена
может быть построен РС-код с N=mls, состоящий из m чередующихся кодовых комбинаций РС-кодов длины ls.
