Дифференцирование сложной функции нескольких переменных

Теорема. Пусть u = f (х, у) задана в области D и пусть х = х(t) и у = у(t) определены в области , причём, когда , то х и у принадлежат области D. Пусть функция u дифференцируема в точке M ₀(x ₀, y ₀, z ₀), а функции х (t) и у (t) дифференцируемы в соответствующей точке t ₀, то сложная функция u = f [ x (t), y (t)] =F (t) дифференцируема в точке t ₀ и имеет место равенство:

.

Доказательство. Так как u дифференцируема по условию в точке (x ₀, y ₀), то её полное приращение представляется в виде

.

Разделив это соотношение на , получим:

.

Перейдём к пределу при и получим формулу

.

Замечание 1. Если u = u (x, y) и x = x, y = y (x), то полная производная функции u по переменной х

или .

Последнее равенство можно использовать для доказательства правила дифференцирования функции одной переменной, заданной неявно в виде F (x, y) = 0, где y = y (x) (см. тему № 3 и пример 14).

Имеем: . Отсюда . (6.1)

Вернёмся к примеру 14 темы № 3:

;

;

;

.

Как видим, ответы совпали.

Замечание 2. Пусть u = f (х, у), где х = х (t, v), у = у (t, v). Тогда u есть в конечном счёте сложная функция двух переменных t и v. Если теперь функция u дифференцируема в точке M ₀ (x ₀, y ₀), а функции х и у дифференцируемы в соответствующей точке (t ₀, v ₀), то можно говорить о частных производных по t и v от сложной функции в точке (t ₀, v ₀). Но если мы говорим о частной производной по t в указанной точке, то вторая переменная v считается постоянной и равной v ₀. Следовательно, речь идёт о производной только от сложной функции по t и, следовательно, мы можем воспользоваться выведенной формулой. Таким образом, получим:

и .

Пример 13. Найти полную производную функции u = x ^y,где x = sin t, y = cos t.

.