Функции нескольких переменных. Непрерывность. Дифференцируемость

Введем одно важное вспомогательное понятие — понятие окрестности данной точки.

Окрестностью радиуса точки называется совокупность всех точек удовлетворяющих неравенству, т. е. совокупность всех точек, лежащих внутри круга радиуса с центром в точке.

Если мы говорим, что функция обладает каким-либо свойством «вблизи точки или «в окрестности точки, то под этим подразумеваем, что найдется такой круг с центром во всех точках которого данная функция обладает указанным свойством.

Прежде чем рассматривать понятце непрерывности функции нескольких переменных, рассмотрим понятие предела функции нескольких переменных.

Пусть дана функция

определенная в некоторой области G плоскости Рассмотрим некоторую определенную точку лежащую в области G или на ее границе (рис. 170).

Рис. 170.

Определение 1. Число А называется пределом функции при стремлении точки к точке если для каждого числа найдется такое число что для всех точек для которых выполняется неравенство имеет место неравенство

Если число А является пределом функции при то пишут

Определение 2. Пусть точка принадлежит области определения функции Функция называется непрерывной в точке если имеет место равенство

причем точка стремится к точке произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Если обозначим то равенство (1) можно переписать так:

или

Обозначим. При и обратно, если, то.

Замечая, далее, что выражение, стоящее в квадратных скобках в равенстве, есть полное приращение функции равенство можно переписать в форме

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Если в некоторой точке не выполняется условие (1), то точка называется точкой разрыва функции Условие может не выполняться, например, в случаях:

1) определена во всех точках некоторой окрестности точки за исключением самой точки функция определена во всех точках окрестности точки но не существует предела функция определена во всех точках окрестности и существует предел но

Пример 1. Функция непрерывна при любых значениях х и у, т. е. в любой точке плоскости

Действительно, каковы бы ни были числа имеем

следовательно,

Приведем пример разрывной функции.

Пример 2. Функция определена всюду, кроме точки

Рассмотрим значения t вдоль прямой Очевидно, вдоль этой прямой

т. е. функция вдоль всякой прямой, проходящей через начало координат, сохраняет постоянное значение, зависящее от углового коэффициента k прямой.

Рис. 171.

Рис. 172.

Поэтому, подходя к началу координат по различным путям, мы будем получать различные предельные значения, а это значит, что функция не имеет предела, когда точка на плоскости стремится к началу координат. Следовательно, функция разрывна в этой точке. Этуфункцию нельзя доопределить в начале координат так, чтобы она стала непрерывной. Легко видеть, с другой стороны, что в остальных точках эта функция непрерывна.

Укажем без доказательства некоторые важные свойства функции многих переменных, непрерывной в замкнутой и ограниченной области. Эти свойства аналогичны свойствам непрерывной на отрезке функции одной переменной (см. § 10 гл. II).

Свойство 1. Если функция определена и непрерывна в замкнутой и ограниченной области D, то в области D найдется по крайней мере одна точка такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

и по крайней мере одна точка такая, что для всех других точек области будет выполняться соотношение

Значение функции будем называть наибольшим значением функции в области D, а значение наименьшим значением.

Это свойство формулируют и так. Непрерывная функция в замкнутой ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения М и наименьшего значения

Свойство 2. Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области D и если М и — наибольшее и наименьшее значения функции в области, то для любого числа удовлетворяющего условию найдется в области такая точка что будет выполняться равенство

Следствие свойства 2. Если функция непрерывна в замкнутой ограниченной области и принимает как положительные, так и отрицательные значения, то внутри области найдутся точки, в которых функция обращается в нуль.