Задача о раскрое материала

На механическом участке производятся комплекты, состоящие из деталей P₁, P₂, …, P_n, изготавливаемые из одного и того же материала. В производство данный материал поступает в виде стандартных заготовок в количестве s единиц. Требуется изготовить из них максимально возможное число комплектов, каждый из которых должен состоять из b₁ шт. деталей вида P₁, b₂ шт. деталей вида P₂, …, b_n шт. деталей вида P_n (условие комплектности).

Каждая единица материала может быть раскроена m различными способами, причем использование i -го способа раскроя () обеспечивает получение шт. деталей вида P_j ().

Необходимо найти такой план раскроя материала, обеспечивающего максимальное число комплектов.

Пусть – число единиц материала, раскраиваемых i -ым способом; k – число изготавливаемых комплектов изделий. Число использованных стандартных заготовок не может быть больше имеющегося в наличии:

. (6.18)

Требование комплектности будет выражено следующей системой уравнений:

. (6.19)

По своей сути искомые величины x и k не отрицательны, т.е.:

. (6.20)

Условие неотрицательности величины k достигается автоматически из системы ограничений (6.19). Целевая функция, выражающая количество полученных комплектов деталей, будет иметь вид:

. (6.21)

Тогда математическую модель данной задачи можно сформулировать следующим образом: найти такой план раскроя материалов X =(x₁, x₂, …, x_m), удовлетворяющий условию (6.18), системе ограничений (6.19), условию (6.20), при котором целевая функция (6.21) принимает наибольшее значение.

Пример 6.4. На заготовительный участок предприятия каждый месяц поступают 300 стальных труб диаметром 50 мм и длиной 6 м, которые необходимо нарезать на заготовки длиной 500 мм, 1250 мм, 1500 мм в соотношении 4:2:2. Составьте план распила материала, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Фрагменты MathCAD-документа, реализующего решение данной задачи, представлены на рис. 41, 42.