Физика атома и атомного ядра. Пример 1.Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность по-тенциалов U

Пример 1. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность по-тенциалов U. Найти длину волны де Бройля , если: 1) U ₁= 51 В; 2) U ₂= 510 кВ.

Решение. Длина волны де Бройля частицы зависит от ее импульса р и рассчитывается по формуле

, (1)

где h - постоянная Планка.

Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия . Связь импульса с кинетической энергией различна для нереляти-вистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда они сравнимы между собой).

В нерелятивистском случае

, (2)

где - масса покоя частицы.

В релятивистском случае

, (3)

где - энергия покоя частицы.

В нерелятивистском случае из формулы (1) и соот-ношения (2) следует:

. (4)

В релятивистском случае из формулы (1) и соот-ношения (3) следует:

. (5)

Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U ₁=51 В и U ₂=510 кВ, с энергией покоя электрона Е _о = m _o c ² = 0,51 МэВ и в зависимости от этого решим, какую из только что полученных формул следует применить для вычисления длины волны де Бройля.

Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, равна E _k = е U.

В первом случае МэВ, что много меньше энергии покоя электрона. Следовательно, для вычисления можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде

Учитывая, что есть комптоновская длина волны , получаем

Подставив сюда значение пм, находим

155 пм.

Во втором случае кинетическая энергия МэВ, т.е. равна энергии по-коя электрона. Для вычисления необходимо при-менить формулу (5):

1,27 пм.

Пример 2. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка =10 эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид

D x ×D p ³ , (1)

где D х - неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона);

D р - неопределенность импульса электрона;

- постоянная Планка (h /2 p).

Из соотношения неопределенностей следует, что, чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с

неопределенностью

D х = l /2.

Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде

(l /2)D р ³ ,

откуда

l ³ /D p.

Неопределенность импульса не должна превышать значение самого импульса р, т.е. D р £ р. Импульс р связан с кинетической энергией соотношением . Заменим D р значением . (Такая замена не увеличит величину l.) Переходя от неравенства к равенству, получим

= / . (2)

Проверим размерность . Для этого в правую часть формулы (2) вместо символов величин подставим их единицы измерения:

= м.

Найденная единица измерения является единицей измерения длины.

Произведем вычисления:

м.

Пример 3. Волновая функция описывает состояние частицы в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной l. Вычислить вероятность

нахождения частицы в малом интервале D l, состав-ляющем 1% от ширины ямы, в двух случаях:

1) вблизи стенки (0 £ х £ D l);

2) в средней части ямы (l /2 - D l /2 £ х £ l /2 + D l /2).

Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от x до x + dx), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние:

В первом случае искомую вероятность можно найти путем интегрирования в пределах от 0 до 0,01 l (рис. 12):

. (1)

Знак модуля в выражении (1) опущен, так как функция

в данном случае не является комплексной. Поскольку x изменяется в интервале 0 £ x £ 0,01 l, то px/l << 1 и, следовательно, справедливо приближенное равенство

. (2)

С учетом формулы (2) выражение (1) принимает вид

После интегрирования получаем

Во втором случае нет необходимости в интегрировании, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (D l = 0,01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность определяется выражением

D l,

или

Пример 4. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона.

Решение. Энергия фотона определяется по формуле

Здесь неизвестной величиной является частота , которая может быть рассчитана по спектральной формуле

где R – постоянная Ридберга (R = 1,1×10⁷ м^-1);

с – скорость света в вакууме (с = 3×1 м/с);

m – номер орбиты, на которую перешел электрон;

n – номер орбиты, с которой перешел электрон.

Следовательно, энергия фотона выражается форму-лой

E = hRс .

Подставим в данную формулу значения величин:

Дж.

Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра Li.

Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных протонов и нейтронов. Дефект массы ядра D m определяется по формуле

D m = Z × m _п+ (A - Z) × m _н - m _я, (1)

где Z - зарядовое число (атомный номер, или число протонов в ядре);

A - массовое число (число нуклонов, состав-ляющих ядро);

m _п, m _н, m _я - массы протона, нейтрона и ядра соответственно.

В формуле (1) неизвестна масса ядра лития, которая определяется из соотношения

m _я = m _а - Z × m_e, (2)

где m _а - масса атома;

m_e - масса электрона.

Подставим соотношение (2) в формулу (1):

D m = Z × m _п + (A - Z) × m _н - m _а + Z × m_e. (3)

Массы нуклонов, электрона и атома выразим в атомных единицах массы (а.е.м.), приняв во внимание, что 1 а.е.м.= 1,66×10^-27 кг. Тогда после подстановки соответствующих значений в формулу (3) получим

D m = 3×1,00728+4×1,00867-7,01601+3×0,00065 = 0,04216 а.е.м.

Выразим D m в килограммах:

D m = 0,04216×1,66×10^-27 = 7×10^-29 кг.

Энергия связи определяется по формуле

Е _св = D m× с² = 7×10^-29(3×10⁸)² = 63×10^-13 Дж.

Пример 6. Имеется радиоактивный препарат Мg массой m = 0,2 мкг. Определить начальную активность препарата А _о и активность препарата А через t = 5 ч. Период полураспада магния = 10 мин.

Решение. Активность изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и равна отношению числа ядер dN, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу:

А = - dN/dt. (1)

Знак "-" показывает, что число радиоактивных ядер N со временем убывает. Для нахождения отношения dN/dt воспользуемся законом радио-активного распада